Funkcję liczbową f: X→Y nazywamy funkcją rosnącą w zbiorze A, A⊂X, wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych argumentów x₁, x₂, należących do zbioru A, z nierówności x₁<x₂ wynika nierówność f(x₁)<f(x₂).

Z powyższej definicji wynika, że gdy dla dowolnych argumentów x₁, x₂, takich, że x1<x2, wyrażenie f(x₁)-f(x₂) jest jest ujemne, to funkcja jest rosnąca.

---

Zakładamy, że x₁<x₂, czyli x₁-x₂<0, gdzie x₁, x₂ ∈ R.

$f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)=x_1^3+5x_1-x_2^3-5x_2=\left(x_1^3-x_2^3\right)+\left(5x_1-5x_2\right)=\left(x_1-x_2\right)\left(x_1^2+x_1{x}_2+x_2^2\right)+5\left(x_1-x_2\right)=\left(x_1-x_2\right)\left[\left(x_1^2+x_1{x}_2+x_2^2\right)+5\right]=\left(x_1-x_2\right)\left[\left(x_1^2+2\cdot x_1\cdot \frac{1}{2}{x}_2+\frac{1}{4}{x}_2^2\right)+\frac{3}{4}{x}_2^2+5\right]=\underset{<0}{\underbrace{\left(x_1-x_2\right)}}\cdot \underset{>0}{\underbrace{\left[{\left(x_1+\frac{1}{2}{x}_2\right)}^2+\frac{3}{4}{x}_2^2+5\right]}}<0$  

Zatem funkcja f jest rosnąca.