🎓 Zbadaj monotoniczność funkcji: - Zadanie 8.140: Matematyka 1. Poziom podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum - strona 226
Matematyka
Matematyka 1. Poziom podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum (Zbiór zadań, OE Pazdro)

Funkcję liczbową f: X→Y nazywamy funkcją rosnącą w zbiorze A, A⊂X, wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych argumentów x1, x2, należących do zbioru A, z nierówności x1<x2 wynika nierówność f(x1)<f(x2).

Funkcję liczbową f: X→Y nazywamy funkcją malejącą w zbiorze A, A⊂X, wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych argumentów x1, x2, należących do zbioru A, z nierówności x1<x2 wynika nierówność f(x1)>f(x2).

Uwaga: Z powyższych definicji wynika, że  gdy dla dowolnych argumentów x1, x2, takich, że x1<x2, wyrażenie f(x1)-f(x2jest jest ujemne, to funkcja jest rosnąca. Natomiast, gdy jest dodatnie, funkcja jest malejąca. [Aby otrzymać te spostrzeżenia, wystarczy przenieść f(x2) na lewą stronę nierówności w definicji.]

Zgodnie z powyższym, aby zbadać, która funkcja jest rosnąca, a która jest malejąca, wystarczy zbadać znak wyrażenia f(x1)-f(x2).



a) Zakładamy, że x1<x2, czyli x1-x2<0, gdzie x1, x∈ (3,+∞).

Pod koniec obliczeń przyda nam się spostrzeżenie, że dla x1, x∈ (3,+∞) mamy:

 

 


 

W liczniku mamy iloczyn liczby dodatniej i liczby ujemnej, więc licznik jest liczbą ujemną.

W mianowniku mamy iloczyn liczb ujemnych, więc mianownik jest liczbą dodatnią. 

Iloraz liczby ujemnej przez liczbę dodatnią jest liczbą ujemną.

Funkcja f jest rosnąca w danym przedziale.



b) Zakładamy, że x1<x2, czyli x1-x2<0, gdzie x1, x∈ (5,+∞).

Pod koniec obliczeń przyda nam się spostrzeżenie, że dla x1, x∈ (5,+∞) mamy:

 

 

 

 

 


 

Funkcja f jest malejąca w danym przedziale.



c) Zakładamy, że x1<x2, czyli x1-x2<0, gdzie x1, x∈ (-1,+∞).

Pod koniec obliczeń przyda nam się spostrzeżenie, że dla x1, x∈ (-1,+∞) mamy:

 

 


 

W liczniku mamy iloczyn liczby dodatniej i liczby ujemnej, więc licznik jest liczbą ujemną.

W mianowniku mamy iloczyn liczb dodatnich, więc mianownik jest liczbą dodatnią. 

Iloraz liczby ujemnej przez liczbę dodatnią jest liczbą ujemną.

Funkcja f jest rosnąca w danym przedziale.



d) Wyrażenie pod pierwiastkiem jest liczbą nieujemną, więc dziedziną tej funkcji jest przedział <-4, ∞). Nie możemy więc zbadać monotoniczności funkcji w przedziale podanym w zadaniu (częścią wspólną przedziałów <-4, ∞) i (-∞, -4> jest zbiór jednoelementowy {4}). W treści zadania najprawdopodobniej podany miał być przedział <-4, ∞). Zakładamy więc, że x1<x2, czyli x1-x2<0, gdzie x1, x∈ <-4, ∞).

 

W liczniku mamy iloczyn liczby dodatniej i liczby ujemnej, więc licznik jest liczbą ujemną.

W mianowniku mamy sumę liczb dodatnich, więc mianownik jest liczbą dodatnią.

Iloraz liczby ujemnej przez liczbę dodatnią jest liczbą ujemną.

Funkcja f jest rosnąca w danym przedziale.

DYSKUSJA
klasa:
I liceum
Informacje
Autorzy: Marcin Kurczab, Elżbieta Kurczab, Elżbieta Świda
Wydawnictwo: OE Pazdro
Rok wydania:
ISBN: 9788375940794
Autor rozwiązania
user profile

Dagmara

20854

Nauczyciel

Wiedza
Zobacz także
Ostatnie 7 dni na Odrabiamy w liczbach...
ROZWIĄZALIŚMY3044ZADAŃ
zadania
wiadomości
ODPOWIEDZIELIŚMY NA8332WIADOMOŚCI
NAPISALIŚCIE431KOMENTARZY
komentarze
... i5863razy podziękowaliście
Autorom