Zbadaj monotoniczność funkcji:

Funkcję liczbową f: X→Y nazywamy funkcją rosnącą w zbiorze A, A⊂X, wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych argumentów x₁, x₂, należących do zbioru A, z nierówności x₁<x₂ wynika nierówność f(x₁)<f(x₂).

Funkcję liczbową f: X→Y nazywamy funkcją malejącą w zbiorze A, A⊂X, wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych argumentów x₁, x₂, należących do zbioru A, z nierówności x₁<x₂ wynika nierówność f(x₁)>f(x₂).

Uwaga: Z powyższych definicji wynika, że  gdy dla dowolnych argumentów x₁, x₂, takich, że x1<x2, wyrażenie f(x₁)-f(x₂) jest jest ujemne, to funkcja jest rosnąca. Natomiast, gdy jest dodatnie, funkcja jest malejąca. [Aby otrzymać te spostrzeżenia, wystarczy przenieść f(x₂) na lewą stronę nierówności w definicji.]

Zgodnie z powyższym, aby zbadać, która funkcja jest rosnąca, a która jest malejąca, wystarczy zbadać znak wyrażenia f(x₁)-f(x₂).

a) Zakładamy, że x₁<x₂, czyli x₁-x₂<0, gdzie x₁, x₂ ∈ (3,+∞).

Pod koniec obliczeń przyda nam się spostrzeżenie, że dla x₁, x₂ ∈ (3,+∞) mamy:

W liczniku mamy iloczyn liczby dodatniej i liczby ujemnej, więc licznik jest liczbą ujemną.

W mianowniku mamy iloczyn liczb ujemnych, więc mianownik jest liczbą dodatnią. 

Iloraz liczby ujemnej przez liczbę dodatnią jest liczbą ujemną.

Funkcja f jest rosnąca w danym przedziale.

b) Zakładamy, że x₁<x₂, czyli x₁-x₂<0, gdzie x₁, x₂ ∈ (5,+∞).

Pod koniec obliczeń przyda nam się spostrzeżenie, że dla x₁, x₂ ∈ (5,+∞) mamy:

Funkcja f jest malejąca w danym przedziale.

c) Zakładamy, że x₁<x₂, czyli x₁-x₂<0, gdzie x₁, x₂ ∈ (-1,+∞).

Pod koniec obliczeń przyda nam się spostrzeżenie, że dla x₁, x₂ ∈ (-1,+∞) mamy:

W liczniku mamy iloczyn liczby dodatniej i liczby ujemnej, więc licznik jest liczbą ujemną.

W mianowniku mamy iloczyn liczb dodatnich, więc mianownik jest liczbą dodatnią. 

Iloraz liczby ujemnej przez liczbę dodatnią jest liczbą ujemną.

Funkcja f jest rosnąca w danym przedziale.

d) Wyrażenie pod pierwiastkiem jest liczbą nieujemną, więc dziedziną tej funkcji jest przedział <-4, ∞). Nie możemy więc zbadać monotoniczności funkcji w przedziale podanym w zadaniu (częścią wspólną przedziałów <-4, ∞) i (-∞, -4> jest zbiór jednoelementowy {4}). W treści zadania najprawdopodobniej podany miał być przedział <-4, ∞). Zakładamy więc, że x₁<x₂, czyli x₁-x₂<0, gdzie x₁, x₂ ∈ <-4, ∞).

W liczniku mamy iloczyn liczby dodatniej i liczby ujemnej, więc licznik jest liczbą ujemną.

W mianowniku mamy sumę liczb dodatnich, więc mianownik jest liczbą dodatnią.

Iloraz liczby ujemnej przez liczbę dodatnią jest liczbą ujemną.

Funkcja f jest rosnąca w danym przedziale.