Funkcję liczbową f: X→Y nazywamy funkcją rosnącą w zbiorze A, A⊂X, wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych argumentów x1, x2, należących do zbioru A, z nierówności x1<x2 wynika nierówność f(x1)<f(x2).
Funkcję liczbową f: X→Y nazywamy funkcją malejącą w zbiorze A, A⊂X, wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych argumentów x1, x2, należących do zbioru A, z nierówności x1<x2 wynika nierówność f(x1)>f(x2).
Uwaga: Z powyższych definicji wynika, że gdy dla dowolnych argumentów x1, x2, takich, że x1<x2, wyrażenie f(x1)-f(x2) jest jest ujemne, to funkcja jest rosnąca. Natomiast, gdy jest dodatnie, funkcja jest malejąca. [Aby otrzymać te spostrzeżenia, wystarczy przenieść f(x2) na lewą stronę nierówności w definicji.]
Zgodnie z powyższym, aby zbadać, która funkcja jest rosnąca, a która jest malejąca, wystarczy zbadać znak wyrażenia f(x1)-f(x2).
a) Zakładamy, że x1<x2, czyli x1-x2<0, gdzie x1, x2 ∈ (3,+∞).
Pod koniec obliczeń przyda nam się spostrzeżenie, że dla x1, x2 ∈ (3,+∞) mamy:
W liczniku mamy iloczyn liczby dodatniej i liczby ujemnej, więc licznik jest liczbą ujemną.
W mianowniku mamy iloczyn liczb ujemnych, więc mianownik jest liczbą dodatnią.
Iloraz liczby ujemnej przez liczbę dodatnią jest liczbą ujemną.
Funkcja f jest rosnąca w danym przedziale.
b) Zakładamy, że x1<x2, czyli x1-x2<0, gdzie x1, x2 ∈ (5,+∞).
Pod koniec obliczeń przyda nam się spostrzeżenie, że dla x1, x2 ∈ (5,+∞) mamy:
Funkcja f jest malejąca w danym przedziale.
c) Zakładamy, że x1<x2, czyli x1-x2<0, gdzie x1, x2 ∈ (-1,+∞).
Pod koniec obliczeń przyda nam się spostrzeżenie, że dla x1, x2 ∈ (-1,+∞) mamy:
W liczniku mamy iloczyn liczby dodatniej i liczby ujemnej, więc licznik jest liczbą ujemną.
W mianowniku mamy iloczyn liczb dodatnich, więc mianownik jest liczbą dodatnią.
Iloraz liczby ujemnej przez liczbę dodatnią jest liczbą ujemną.
Funkcja f jest rosnąca w danym przedziale.
d) Wyrażenie pod pierwiastkiem jest liczbą nieujemną, więc dziedziną tej funkcji jest przedział <-4, ∞). Nie możemy więc zbadać monotoniczności funkcji w przedziale podanym w zadaniu (częścią wspólną przedziałów <-4, ∞) i (-∞, -4> jest zbiór jednoelementowy {4}). W treści zadania najprawdopodobniej podany miał być przedział <-4, ∞). Zakładamy więc, że x1<x2, czyli x1-x2<0, gdzie x1, x2 ∈ <-4, ∞).
W liczniku mamy iloczyn liczby dodatniej i liczby ujemnej, więc licznik jest liczbą ujemną.
W mianowniku mamy sumę liczb dodatnich, więc mianownik jest liczbą dodatnią.
Iloraz liczby ujemnej przez liczbę dodatnią jest liczbą ujemną.
Funkcja f jest rosnąca w danym przedziale.