Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:

---

Trójkąty ADO i OEB są równoboczne, bo są trójkątami równoramiennymi (|AO|=|DO|=r, |BO|=|EO|=r) o kącie 60° przy podstawie.

---

Pole części koła leżącej na zewnątrz trójkąta ABC obliczymy jako sumę pola półkola i pól dwóch wycinków o kącie 60°. Sumę tę należy pomniejszyć o pola trójkątów ADO i OEB, bo leżą one wewnątrz trójkąta ABC.

$P_{\text{zew}}=\frac{1}{2}\pi r^2+2\cdot \frac{{60}^{\circ }}{{360}^{\circ }}\cdot \pi r^2-2\cdot \frac{r^2\sqrt{3}}{4}=\frac{1}{2}\pi r^2+\frac{1}{3}\pi r^2-\frac{r^2\sqrt{3}}{2}=\frac{5}{6}\pi r^2-\frac{r^2\sqrt{3}}{2}=\frac{5\pi -3\sqrt{3}}{6}{r}^2$  

---

Pole części koła leżącej wewnątrz trójkąta ABC obliczymy jako różnice pola koła i pola części zewnętrznej:

$P_{\text{wew}}=\pi r^2-\left(\frac{5}{6}\pi r^2-\frac{r^2\sqrt{3}}{2}\right)=\pi r^2-\frac{5}{6}\pi r^2+\frac{r^2\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{6}\pi r^2+\frac{r^2\sqrt{3}}{2}=\frac{\pi +3\sqrt{3}}{6}{r}^2$    

---

Obliczamy stosunek pola części zewnętrznej do pola części wewnętrznej:

$\frac{P_{\text{zew}}}{P_{\text{wew}}}=\frac{\frac{5\pi -3\sqrt{3}}{6}{r}^2}{\frac{\pi +3\sqrt{3}}{6}{r}^2}=\frac{5\pi -3\sqrt{3}}{\pi +3\sqrt{3}}$  

---

$\text{Odp.}\frac{P_{\text{zew}}}{P_{\text{wew}}}=\frac{5\pi -3\sqrt{3}}{\pi +3\sqrt{3}}.$