Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:

---

a) Trójkąty AEB i BDC są podobne na podstawie cechy kkk. Z podobieństwa tych trójkątów wynika, że:

$\frac{\left|EB\right|}{\left|DB\right|}=\frac{\left|AB\right|}{\left|BC\right|}$  

$\frac{x}{\left|DB\right|}=\frac{\left|AB\right|}{3x}$  

$\frac{x}{\frac{1}{2}\left|AB\right|}=\frac{\left|AB\right|}{3x}$  

$\frac{1}{2}{\left|AB\right|}^2=3x^2\mid \cdot 2$  

${\left|AB\right|}^2=6x^2$  

$\left|AB\right|=\sqrt{6}x$  

Obliczamy sinus kąta EAB:

$\sin \alpha =\frac{\left|BE\right|}{\left|AB\right|}=\frac{x}{\sqrt{6}x}=\frac{1}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{6}$  

$\text{Odp.}\sin \alpha =\frac{\sqrt{6}}{6}.$  

---

b) Trójkąty ADS i SEC są podobne na podstawie cechy kkk, ponieważ mają po jednym kącie prostym oraz kąty ASD i ESC mają równe miary (bo są to kąty wierzchołkowe).

---

c) Oznaczmy skalę podobieństwa trójkąta ADS do trójkąta SEC jako k.

Obliczamy skalę k:

$k=\frac{\left|AD\right|}{\left|EC\right|}=\frac{\frac{1}{2}\left|AB\right|}{\left|EC\right|}=\frac{\frac{\sqrt{6}}{2}x}{2x}=\frac{\sqrt{6}}{4}$  

Stosunek pól trójkątów podobnych jest równy kwadratowi skali podobieństwa. Zatem:

$\frac{P_{ADS}}{P_{SEC}}=k^2$  

$\frac{P_{ADS}}{P_{SEC}}={\left(\frac{\sqrt{6}}{4}\right)}^2$  

$\frac{P_{ADS}}{P_{SEC}}=\frac{6}{16}$  

$\frac{P_{ADS}}{P_{SEC}}=\frac{3}{8}$  

Odp. Stosunek pola trójkąta ADS do pola trójkąta SEC jest równy 3 : 8.