Oznaczmy przeciwprostokątną jako x. Obliczamy jej długość z twierdzenia Pitagorasa:

$4^2+2^2=x^2$  

$16+4=x^2$  

$20=x^2$  

$x=2\sqrt{5}$  

---

$\text{a)}1+2\cdot \sin \alpha \cdot \cos \alpha =1+2\cdot \frac{2}{2\sqrt{5}}\cdot \frac{4}{2\sqrt{5}}=1+2\cdot \frac{1}{\sqrt{5}}\cdot \frac{2}{\sqrt{5}}=1+\frac{4}{5}=1\frac{4}{5}$  

---

$\text{b)}{\left(\text{tg}\alpha \cdot \cos \alpha +\text{ctg}\alpha \cdot \sin \alpha \right)}^2={\left(\frac{2}{4}\cdot \frac{4}{2\sqrt{5}}+\frac{4}{2}\cdot \frac{2}{2\sqrt{5}}\right)}^2={\left(\frac{1}{\sqrt{5}}+\frac{2}{\sqrt{5}}\right)}^2={\left(\frac{3}{\sqrt{5}}\right)}^2=\frac{9}{5}=1\frac{4}{5}$