Sinusem kąta ostrego 𝛼 w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej przeciwległej do kąta 𝛼 do przeciwprostokątnej.

Cosinusem kąta ostrego 𝛼 w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej przyległej do kąta 𝛼 do przeciwprostokątnej.

Tangensem kąta ostrego 𝛼 w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej przeciwległej do kąta 𝛼 do drugiej przyprostokątnej.

Cotangensem kąta ostrego 𝛼 w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej przyległej do kąta 𝛼 do drugiej przyprostokątnej.

---

a) 

$\sin \alpha =\frac{3}{5}$  

$\cos \alpha =\frac{4}{5}$  

$\text{tg}\alpha =\frac{3}{4}$  

$\text{ctg}\alpha =\frac{4}{3}=1\frac{1}{3}$  

---

b) Oznaczmy przeciwprostokątną jako c. Obliczamy jej długość z twierdzenia Pitagorasa:

$c^2=5^2+{12}^2$  

$c^2=25+144$  

$c^2=169$  

$c=13$  

Obliczamy wartości funkcji trygonometrycznych:

$\sin \alpha =\frac{12}{13}$  

$\cos \alpha =\frac{5}{13}$  

$\text{tg}\alpha =\frac{12}{5}=2\frac{2}{5}$  

$\text{ctg}\alpha =\frac{5}{12}$  

---

c) Oznaczmy brakującą przyprostokątną jako x. Obliczamy jej długość z twierdzenia Pitagorasa:

$x^2+8^2={17}^2$  

$x^2+64=289$  

$x^2=225$  

$x=15$  

Obliczamy wartości funkcji trygonometrycznych:

$\sin \alpha =\frac{8}{17}$  

$\cos \alpha =\frac{15}{17}$  

$\text{tg}\alpha =\frac{8}{15}$  

$\text{ctg}\alpha =\frac{15}{8}=1\frac{7}{8}$  

---

d) Oznaczmy brakującą przyprostokątną jako x. Obliczamy jej długość z twierdzenia Pitagorasa:

$x^2+8^2={12}^2$  

$x^2+64=144$  

$x^2=80$  

$x=4\sqrt{5}$  

Obliczamy wartości funkcji trygonometrycznych:

$\sin \alpha =\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$  

$\cos \alpha =\frac{4\sqrt{5}}{12}=\frac{\sqrt{5}}{3}$  

$\text{tg}\alpha =\frac{8}{4\sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}\cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$  

$\text{ctg}\alpha =\frac{4\sqrt{5}}{8}=\frac{\sqrt{5}}{2}$  

---

e) Oznaczmy przeciwprostokątną jako c. Obliczamy jej długość z twierdzenia Pitagorasa:

$c^2=a^2+a^2$  

$c^2=2a^2$  

$c=a\sqrt{2}$  

Obliczamy wartości funkcji trygonometrycznych:

$\sin \alpha =\frac{a}{a\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$  

$\cos \alpha =\frac{a}{a\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$  

$\text{tg}\alpha =\frac{a}{a}=1$  

$\text{ctg}\alpha =\frac{a}{a}=1$  

---

f) Oznaczmy brakującą przyprostokątną jako x. Obliczamy jej długość z twierdzenia Pitagorasa:

$x^2+a^2={\left(2a\right)}^2$  

$x^2+a^2=4a^2$  

$x^2=3a^2$  

$x=a\sqrt{3}$  

Obliczamy wartości funkcji trygonometrycznych:

$\sin \alpha =\frac{a\sqrt{3}}{2a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$  

$\cos \alpha =\frac{a}{2a}=\frac{1}{2}$  

$\text{tg}\alpha =\frac{a\sqrt{3}}{a}=\sqrt{3}$  

$\text{ctg}\alpha =\frac{a}{a\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$