Rysunek pomocniczy:

---

Mamy dane:

$\left|AP\right|=8\text{cm}$  

$\left|PE\right|=2\text{cm}$  

---

$\text{a)}$  Odcinek  $DP$  jest wysokością trójkąta prostokątnego  $\Delta ADE.$  

Ze wzoru na wysokość mamy:

$\left|DP\right|=\sqrt{\left|AP\right|\cdot \left|PE\right|}$  

$\left|DP\right|=\sqrt{8\cdot 2}=\sqrt{16}=4\left[\text{cm}\right]$  

Teraz odcinek  $AP$  jest wysokością trójkąta prostokątnego  $\Delta ABD.$  

Ze wzoru na wysokość mamy:

$\left|AP\right|=\sqrt{\left|DP\right|\cdot \left|PB\right|}$  

$8=\sqrt{4\left|PB\right|}\mid {}^2$  

$64=4\left|PB\right|\mid :4$  

$\left|PB\right|=16\left[\text{cm}\right]$  

Obliczamy długość przekątnej  $DB:$  

$\left|DB\right|=\left|DP\right|+\left|PB\right|$  

$\left|DB\right|=4+16=20\left[\text{cm}\right]$  

Odp. Przekątna prostokąta ma długość  $20\text{cm}.$  

---

$\text{b)}$  Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta  $\Delta APD$  obliczamy długość boku  $AD.$  

${\left|AP\right|}^2+{\left|DP\right|}^2={\left|AD\right|}^2$  

$8^2+4^2={\left|AD\right|}^2$  

$64+16={\left|AD\right|}^2$  

$80={\left|AD\right|}^2$  

$\left|AD\right|=4\sqrt{5}\left[\text{cm}\right]$  

Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta  $\Delta APB$  obliczamy długość boku  $AB.$  

${\left|AP\right|}^2+{\left|PB\right|}^2={\left|AB\right|}^2$  

$8^2+{16}^2={\left|AB\right|}^2$  

$64+256={\left|AB\right|}^2$  

$320={\left|AB\right|}^2$  

$\left|AB\right|=8\sqrt{5}\left[\text{cm}\right]$  

Odp. Boki prostokąta mają długość  $4\sqrt{5}\text{cm}$  i  $8\sqrt{5}\text{cm}.$