Niech  $\alpha ,\beta ,\gamma$  będą kątami trójkąta.

---

Dowód, że w każdym trójkącie jest kąt, który ma co najmniej  ${60}^{\circ }:$  

Załóżmy nie wprost, że istnieje trójkąt, w którym wszystkie kąty są mniejsze od  ${60}^{\circ },$  czyli

$\alpha ,\beta ,\gamma <{60}^{\circ }$  

Wówczas:

$\alpha +\beta +\gamma <3\cdot {60}^{\circ }={180}^{\circ }$  

Otrzymaliśmy sprzeczność - suma kątów trójkąta zawsze jest równa  ${180}^{\circ }.$  

Oznacza to, że w dowolnym trójkącie istnieje kąt, który ma przynajmniej  ${60}^{\circ }.$  

---

Dowód, że w każdym trójkącie jest kąt, który ma co najwyżej  ${60}^{\circ }:$  

Załóżmy nie wprost, że istnieje trójkąt, w którym wszystkie kąty są większe od  ${60}^{\circ },$  czyli

$\alpha ,\beta ,\gamma >{60}^{\circ }$  

Wówczas:

$\alpha +\beta +\gamma >3\cdot {60}^{\circ }={180}^{\circ }$  

Otrzymaliśmy sprzeczność - suma kątów trójkąta zawsze jest równa  ${180}^{\circ }.$  

Oznacza to, że w dowolnym trójkącie istnieje kąt, który ma co najwyżej  ${60}^{\circ }.$