Wiemy, że stosunek długości łuków  $AC$  i  $BD$  wynosi  $1:3,$  więc możemy przyjąć, że:

$\alpha =\left|\angle COA\right|$  

$3\alpha =\left|\angle DOB\right|$  

---

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:

---

Zauważmy, że kąty  $COA$  i  $CDA$  to kąt środkowy i kąt wpisany, oparte na tym samym łuku.

Zatem:

$\angle CDA=\frac{1}{2}\alpha$  

Analogicznie, kąty  $DOB$  i  $DAB$  to kąt środkowy i kąt wpisany, oparte na tym samym łuku. Zatem:

$\angle DAB=\frac{1}{2}\cdot 3\alpha =\frac{3}{2}\alpha$  

---

Kąt  $\beta$  jest przyległy do kąta  ${36}^{\circ },$  stąd:

$\beta ={180}^{\circ }-{36}^{\circ }={144}^{\circ }$  

---

Z sumy kątów trójkąta dla  $\Delta APD$  mamy:

${144}^{\circ }+\frac{1}{2}\alpha +\frac{3}{2}\alpha ={180}^{\circ }$  

$2\alpha ={36}^{\circ }\mid :2$  

$\alpha ={18}^{\circ }$  

$3\alpha =3\cdot {18}^{\circ }={54}^{\circ }$  

---

Odp. Kąty środkowe odpowiadające łukom  $AC$  i  $BD$  mają odpowiednio miary  ${18}^{\circ }$  i  ${54}^{\circ }.$