Punkt D należy do podstawy AB...- Zadanie 7.96: Matematyka 1. Poziom podstawowy. Po gimnazjum

Rozwiązanie

Trójkąt ABC jest równoramienny, więc:

|AC|=|BC|=x

Ze wzoru na pole trójkąta:

$P_{A C D} = \frac{1}{2} x \cdot ∣ C D ∣ \cdot sin α$

$P_{B C D} = \frac{1}{2} x \cdot ∣ C D ∣ \cdot sin β$

Mamy więc:

$\frac{P _{A C D}}{P _{B C D}} = \frac{\frac{1}{2} x \cdot ∣ C D ∣ \cdot sin α}{\frac{1}{2} x \cdot ∣ C D ∣ \cdot sin β} = \frac{sin α}{sin β}$

Oznaczmy:

$∣ ∠ C D B ∣ = γ$

Wówczas:

$∣ ∠ B D C ∣ = 180^{\circ} - γ$

Ze wzoru na pole trójkąta:

$P_{A C D} = \frac{1}{2} ∣ A D ∣ \cdot ∣ C D ∣ \cdot sin γ$

$P_{B C D} = \frac{1}{2} ∣ D B ∣ \cdot ∣ C D ∣ \cdot sin (180^{\circ} - γ) = \frac{1}{2} ∣ D B ∣ \cdot ∣ C D ∣ \cdot sin γ$

Zatem:

$\frac{P _{A C D}}{P _{B C D}} = \frac{\frac{1}{2} ∣ A D ∣ \cdot ∣ C D ∣ \cdot sin γ}{\frac{1}{2} ∣ D B ∣ \cdot ∣ C D ∣ \cdot sin γ} = \frac{∣ A D ∣}{∣ D B ∣}$

Otrzymaliśmy:

$\frac{sin α}{sin β} = \frac{P _{A C D}}{P _{B C D}} = \frac{∣ A D ∣}{∣ D B ∣}$

Dagmara Kowalczuk

Nauczycielka matematyki

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.