Przypadek 1:

---

Jeżeli kąt środkowy i wpisany są oparte na tym samym łuku, to kąt wpisany ma miarę równą połowie miary kąta środkowego, stąd:

$\alpha =\frac{1}{2}\cdot {120}^{\circ }={60}^{\circ }$  

---

Trójkąt ABC jest równoramiennym trójkątem o kącie 60° między ramionami, więc jest równoboczny. Stąd b = a.

---

Ze wzoru na promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym wyznaczamy długość boku trójkąta:

$R=\frac{2}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}$  

$20=\frac{a\sqrt{3}}{3}\mid \cdot \frac{3}{\sqrt{3}}$  

$a=\frac{20\cdot 3}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=20\sqrt{3}\left[\text{cm}\right]$  

---

Obliczamy pole trójkąta ABC:

$P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{{\left(20\sqrt{3}\right)}^2\cdot \sqrt{3}}{4}=\frac{400\cdot 3\cdot \sqrt{3}}{4}=300\sqrt{3}\left[{\text{cm}}^2\right]$  

---

Obliczamy promień okręgu wpisanego w trójkąt:

$r=\frac{1}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{3}=\frac{1}{2}R=\frac{1}{2}\cdot 20=10\left[\text{cm}\right]$  

---

$\text{Odp.}P=300\sqrt{3}{\text{cm}}^2,r=10\text{cm}.$  

---

---

Przypadek 2:

---

Jeżeli kąt środkowy i wpisany są oparte na tym samym łuku, to kąt wpisany ma miarę równą połowie miary kąta środkowego, stąd:

$\beta =\frac{1}{2}\cdot {120}^{\circ }={60}^{\circ }$  

---

Na czworokącie ACBD można opisać okrąg, więc:

$\alpha +\beta ={180}^{\circ }$  

$\alpha +{60}^{\circ }={180}^{\circ }$  

$\alpha ={120}^{\circ }$  

---

Trójkąty ABC i AOB są przystające na podstawie cechy bkb. Z przystawania tych trójkątów wynika, że b=R=20 cm.

---

Obliczamy pole trójkąta ABC:

$P=\frac{1}{2}{b}^2\sin \alpha =\frac{1}{2}\cdot {20}^2\cdot \sin {120}^{\circ }=\frac{1}{2}\cdot 400\cdot \sin \left({180}^{\circ }-{60}^{\circ }\right)=200\cdot \sin {60}^{\circ }=200\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=100\sqrt{3}\left[{\text{cm}}^2\right]$  

---

Obliczamy długość boku a:

$\frac{\left|AE\right|}{\left|AC\right|}=\sin \left(\frac{1}{2}\alpha \right)$  

$\frac{\frac{1}{2}a}{b}=\sin \left(\frac{1}{2}\cdot {120}^{\circ }\right)$  

$\frac{\frac{1}{2}a}{20}=\sin {60}^{\circ }$  

$\frac{\frac{1}{2}a}{20}=\frac{\sqrt{3}}{2}\mid \cdot 20$  

$\frac{1}{2}a=10\sqrt{3}\mid \cdot 2$  

$a=20\sqrt{3}\left[\text{cm}\right]$  

---

Ze wzoru na pole trójkąta obliczamy promień okręgu wpisanego w trójkąt r:

$P=\frac{1}{2}\left(a+2b\right)\cdot r$  

$100\sqrt{3}=\frac{1}{2}\left(20\sqrt{3}+2\cdot 20\right)\cdot r$  

$100\sqrt{3}=\left(10\sqrt{3}+20\right)r$  

$100\sqrt{3}=10\left(\sqrt{3}+2\right)r\mid :10\left(\sqrt{3}+2\right)$  

$r=\frac{10\sqrt{3}}{\sqrt{3}+2}\cdot \frac{\sqrt{3}-2}{\sqrt{3}-2}=\frac{10\sqrt{3}\left(\sqrt{3}-2\right)}{3-4}=\frac{30-20\sqrt{3}}{-1}=\left(20\sqrt{3}-30\right)\left[\text{cm}\right]$  

---

$\text{Odp.}P=100\sqrt{3}{\text{cm}}^2,r=\left(20\sqrt{3}-30\right)\text{cm}.$