Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:

Na rysunku:

$H=\left|CF\right|$  

$a=\left|AB\right|$  

$b=\left|AC\right|=\left|BC\right|$  

---

Mamy dane:

$a=10\text{cm}$  

$b=13\text{cm}$  

---

Z tw. Pitagorasa obliczamy wysokość H:

${\left(\frac{1}{2}a\right)}^2+H^2=b^2$  

$5^2+H^2={13}^2$  

$25+H^2=169$  

$H^2=144$  

$H=12\left[\text{cm}\right]$  

---

Obliczamy pole trójkąta ABC:

$P_{ABC}=\frac{1}{2}aH=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 12=5\cdot 12=60\left[{\text{cm}}^2\right]$  

---

Ze wzoru na pole trójkąta wyznaczamy promień r:

$P_{ABC}=\frac{1}{2}\left(a+2b\right)\cdot r$  

$60=\frac{1}{2}\left(10+2\cdot 13\right)r$  

$60=\frac{1}{2}\left(10+26\right)r$  

$60=\frac{1}{2}\cdot 36\cdot r$  

$60=18r\mid :18$  

$r=\frac{10}{3}\left[\text{cm}\right]$  

---

Styczna do koła jest równoległa do podstawy, więc trójkąty ABC i DEC są podobne na podstawie cechy kkk. Oznaczmy skalę podobieństwa trójkąta DEC do trójkąta ABC jako k.

Obliczamy skalę k:

$k=\frac{\left|CK\right|}{\left|CF\right|}=\frac{H-2r}{H}=\frac{12-2\cdot \frac{10}{3}}{12}=\frac{12-\frac{20}{3}}{12}=\frac{\frac{16}{3}}{12}=\frac{16}{3}\cdot \frac{1}{12}=\frac{4}{9}$  

---

Stosunek pól trójkątów podobnych równa się kwadratowi skali podobieństwa, więc:

$\frac{P_{DEC}}{P_{ABC}}=k^2$  

$\frac{P_{DEC}}{60}={\left(\frac{4}{9}\right)}^2$  

$\frac{P_{DEC}}{60}=\frac{16}{81}\mid \cdot 60$  

$P_{DEC}=\frac{320}{27}=11\frac{23}{27}\left[{\text{cm}}^2\right]$  

---

$\text{Odp.}{P}_{DEC}=11\frac{23}{27}{\text{cm}}^2.$