Wystarczy obliczyć wartości danych liczb. Powinniśmy otrzymać wyniki wymierne.

W obliczeniach wykorzystamy wartości funkcji trygonometrycznych kąta ostrego:

oraz wartości z tabeli z zadania 6.42:

---

$\text{a)}\left(2+\cos {150}^{\circ }\right)\left(2+\sin {120}^{\circ }\right)=\left(2-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(2+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=2^2-{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2=4-\frac{3}{4}=3\frac{1}{4}$  

---

$\text{b)}\left(-\text{tg}{135}^{\circ }+\text{tg}{150}^{\circ }\right)\left(\text{tg}{45}^{\circ }+\text{tg}{30}^{\circ }\right)=\left(1-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)\left(1+\frac{\sqrt{3}}{3}\right)=1^2-{\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)}^2=1-\frac{3}{9}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$  

---

$\text{c)}{\sin }^2{135}^{\circ }-2\sin {135}^{\circ }\cos {135}^{\circ }+{\cos }^2{135}^{\circ }={\left(\sin {135}^{\circ }-\cos {135}^{\circ }\right)}^2={\left[\frac{\sqrt{2}}{2}-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right]}^2={\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2={\left(\sqrt{2}\right)}^2=2$  

---

$\text{d)}{\text{tg}}^2{120}^{\circ }+2\text{tg}{120}^{\circ }\text{ctg}{150}^{\circ }+{\text{ctg}}^2{150}^{\circ }={\left(\text{tg}{120}^{\circ }+\text{ctg}{150}^{\circ }\right)}^2={\left(-\sqrt{3}-\sqrt{3}\right)}^2={\left(-2\sqrt{3}\right)}^2=4\cdot 3=12$  

---

Wyniki otrzymane we wszystkich podpunktach są liczbami wymiernymi, co należało dowieść.