Rysunek pomocniczy:

---

Półprosta  $A{W}^{\to }$  jest dwusieczną kąta  $\alpha ,$  a prosta  $MN$  jest równoległa do boku  $AB,$  więc:

$\left|\angle NWL\right|=\left|\angle BAW\right|=\frac{1}{2}\alpha$  (jako kąty odpowiadające)

---

Kąty  $MWA$  oraz  $NWL$  to kąty wierzchołkowe. Stąd:

$\left|\angle MWA\right|=\left|\angle NWL\right|=\frac{1}{2}\alpha$  

---

Wynika stąd, że trójkąt  $\Delta AMW$  jest równoramienny. A zatem:

$\left|MW\right|=\left|AM\right|$  

---

Półprosta  $B{W}^{\to }$  jest dwusieczną kąta  $\beta ,$  a prosta  $MN$  jest równoległa do boku  $AB,$  więc:

$\left|\angle KWM\right|=\left|\angle WBA\right|=\frac{1}{2}\beta$  (jako kąty odpowiadające)

---

Kąty  $BWN$  oraz  $KWM$  to kąty wierzchołkowe. Stąd:

$\left|\angle BWN\right|=\left|\angle KWM\right|=\frac{1}{2}\beta$  

---

Wynika stąd, że trójkąt  $\Delta WNB$  jest równoramienny. A zatem:

$\left|WN\right|=\left|BN\right|$  

---

Mamy więc:

$\left|MN\right|=\left|MW\right|+\left|WN\right|=\left|AM\right|+\left|BN\right|,$  

co należało dowieść.