Jeśli jeden z kątów ostrych w trójkącie prostokątnym ma miarę ${30}^o$ , to miara drugiego z nich jest równa  ${60}^o$ .

Przypomnijmy własności trójkąta o mierze kątów ${30}^o,{60}^o\text{i}{90}^o$ .

 

Przyjmijmy, że $2x=4\sqrt{3}\text{cm}$ , więc $b=x$ , zatem 

$2x=4\sqrt{3}\text{cm}\mid :2$  

$x=2\sqrt{3}\text{cm}$  

$b=2\sqrt{3}\text{cm}$  

Jedna z przyprostokątnych ma długość $2\sqrt{3}\text{cm}$ . Wyznaczamy długość drugiej.

$x=2\sqrt{3}\text{cm}\mid \cdot \sqrt{3}$  

$x\sqrt{3}=2\cdot 3\text{cm}=6\text{cm}$  

$a=6\text{cm}$  

Wiemy, że powierzchnia boczna tego graniastosłupa jest kwadratem.

Obliczamy bok tego kwadratu, znając długości krawędzi podstawy.

$a+4\sqrt{3}\text{cm}+b=2\sqrt{3}\text{cm}+4\sqrt{3}\text{cm}+6\text{cm}=6\sqrt{3}\text{cm}+6\text{cm}=$  

$=\left(6+6\sqrt{3}\right)\text{cm}=6\left(1+\sqrt{3}\right)\text{cm}$   

Jest to również wysokość graniastosłupa.

Obliczamy pole powierzchni bocznej (korzystamy przy tym ze wzoru skróconego
mnożenia: ${\left(a+b\right)}^2=a^2+2ab+b^2$ ).

$P_b={\left(\left(6+6\sqrt{3}\right)\text{cm}\right)}^2=6^2+2\cdot 6\cdot 6\sqrt{3}+{\left(6\sqrt{3}\right)}^2=$  

$=\left(36+72\sqrt{3}+108\right){\text{cm}}^2=\left(144+72\sqrt{3}\right){\text{cm}}^2=72\left(2+\sqrt{3}\right){\text{cm}}^2$  

Objętość graniastosłupa jest równa iloczynowi pola podstawy $P_p$  i wysokości graniastosłupa $H$ :

$V=P_p\cdot H$  

Zanim obliczymy objętość tego graniastosłupa, którego wysokość wynosi  $6\left(1+\sqrt{3}\right)\text{cm}$ , musimy obliczyć pole podstawy.

Obliczamy pole trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości $2\sqrt{3}\text{cm}\text{i}6\text{cm}$ .

$P_p=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{3}\text{cm}\cdot 6\text{cm}=6\sqrt{3}{\text{cm}}^2$   

Obliczamy objętość.

$V=6\sqrt{3}{\text{cm}}^2\cdot 6\left(1+\sqrt{3}\right)\text{cm}=6\sqrt{3}{\text{cm}}^2\cdot \left(6+6\sqrt{3}\right)\text{cm}=$  

$=\left(36\sqrt{3}+108\right){\text{cm}}^3=\left(108+36\sqrt{3}\right){\text{cm}}^3=36\left(3+\sqrt{3}\right){\text{cm}}^3$