Matematyka

Franek w czasie wakacji korzystał od poniedziałku... 4.67 gwiazdek na podstawie 6 opinii
  1. Szkoła podstawowa
  2. 5 Klasa
  3. Matematyka

Franek w czasie wakacji korzystał od poniedziałku...

2
 Zadanie

3
 Zadanie

 Obliczamy, ile godzin dziennie Franek przebywał na zajęciach:

 


Obliczamy, jaka to część doby:

 

Odp. Franek przebywał na zajęciach "Lato w mieście"  doby.


 Obliczamy, ile godzin w ciągu tygodnia Franek spędzał na zajęciach:

 

Odp. Franek  godzin w tygodniu spędzał na zajęciach "Lato w mieście".

DYSKUSJA
klasa:
Informacje
Autorzy: Helena Lewicka, Marianna Kowalczyk
Wydawnictwo: WSiP
Rok wydania:
ISBN: 9788302174513
Autor rozwiązania
user profile

Dagmara

11778

Nauczyciel

Wiedza
Wartości liczbowe wyrażeń algebraicznych

Aby obliczyć wartość liczbową wyrażenia algebraicznego należy w miejsce liter podstawić odpowiednie liczby.


Przykład:

Oblicz wartość liczbową wyrażenia `2y+3y^2-10 \ \ \ "dla" \ \ \ y=2` . 

W miejsce `y` wstawiamy 2.  

`2*2+3*2^2-10=4+3*4-10=4+12-10=16-10=6` 

Wartość wyrażenia `2y+3y^2-10 \ \ \ "dla" \ \ \ y=2`  wynosi 6. 

Operacje na wyrażeniach wymiernych
W poprzednim temacie poznaliśmy wyrażenia wymierne: teraz nauczymy się, jak można wykonywać na nich operacje dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia, a także co można z nimi - jako ułamkami - robić.

Podstawowe operacje: dodawania, odejmowania i mnożenia są dość oczywiste. Mamy tak naprawdę dwa ułamki, a ułamki jak wiadomo dodaje się i odejmuje sprowadzając je do wspólnego mianownika, a później dodając liczniki. Z tym nie powinno być żadnego problemu: dla pewności pokażę to na przykładzie:

$${x+2}/{x+3} + {x^2-5x-1}/{x+2} = {(x-1)(x-2)}/{(x+3)(x-2)} + {(x^2-5x-1)(x+3)}/{(x+3)(x-2)} =$$
$$ = {(x^2-5x-1)(x+3) + (x+3)(x+2)}/{(x+3)(x-2)} = {x^3 - x^2 - 11x + 3}/{(x^2+x-6}$$

Mnożenie wykonujemy także standardowo, mnożąc po prostu licznik i mianownik, czyli odpowiednie wielomiany.

Dzielenie jest takie samo, jak w przypadku normalnych ułamków (czyli mnożymy przez odwrotność), ale trzeba pamiętać o tym, że wynikowe wyrażenie wymierne może mieć już inną dziedzinę: trzeba z niej wyłączyć pierwiastki licznika ułamka, przez który dzielimy. Przykład: $${ {x-2}/{x-3} }÷{ {x-1}/{x+3} }= {(x-2)(x+3)}/{(x-3)(x-1)}$$, a dziedzina to liczby rzeczywiste bez 3 i 1.


Możemy także skracać wyrażenia wymierne. Polega to na tym samym, co w przypadku normalnych ułamków: po prostu dzielimy licznik i mianownik przez ten sam czynnik - ten sam wielomian. Choć samo skracanie nie powinno nastręczać trudności, to nie wolno zapominać o tym, że dziedzina wyrażenia się zachowuje! To bardzo częsty błąd.


Przykład:

Skróćmy $${x^2-2x+1}/{x^2-3x+2}$$. Z poprzedniego działu wiemy już, jak zwinąć sumy do iloczynów: pierwszy to po prostu wzór skróconego mnożenia - $${(x-1)}^2$$, w drugi natomiast rozbijamy $$-3x$$ na $$-x -2x$$, i dostrzegamy, że możemy wyłączyć wspólny czynnik $$(x-1)$$; mianownik zamienia się więc na $$(x-1)x + (x-1)2 = (x-1)(x-2)$$. Cały ułamek wygląda więc tak: $${(x-1)^2}/{(x-1)(x-2)}$$. Możemy więc skrócić przez $$x-1$$, w wyniku otrzymując $${x-1}/{x-3}$$. Ale trzeba pamiętać o tym, że nowe wyrażenie, mimo że samo w sobie ma w dziedzinie wszystkie liczby rzeczywiste bez 3, to przejście z poprzedniego zakładało, że $$(x-1)$$ jest różne od zera, czyli z dziedziny wyrzucamy także 1.
 

Zadanie 1. Zsumować:
$${x^2 + 1}/{x - 2} + {x - 1}/{x - 3}$$

Sprowadzamy do wspólnego mianownika, a potem dodajemy:
$${x^2 + 1}/{x - 2} + {x - 1}/{x - 3} = {(x^2 + 1)(x-3)}/{(x - 2)(x-3)} + {(x - 1)(x - 2)}/{(x - 2)(x-3)}=$$
$$ = {(x^2 + 1)(x-3) + (x - 1)(x - 2)}/{(x - 2)(x - 3)} = {x^3-2 x^2-2 x-1}/{x^2-5 x+6}$$


Zadanie 2. Wymnożyć:
$${x^2 - 2x + 1}/{x + 1} × {x^2 - x - 2}/{x - 1}$$

$${x^2 - 2x + 1}/{x + 1} * {x^2 - x - 2}/{x - 1} = {(x^2 - 2x + 1)(x^2 - x - 2)}/{(x + 1)(x-1)}$$

Moglibyśmy wymnażać to dalej i stopniowo upraszczać, ale możemy także zauważyć, że wyrażenia kwadratowe w mianownikach dają się łatwo rozłożyć na iloczyn: $${(x^2 - 2x + 1)(x^2 - x - 2)}/{(x + 1)(x-1)} = {(x - 1)^2(x-2)(x+1)}/{(x + 1)(x-1)}=$$ $$= {(x - 1)(x-2)}/{1} = x^2 - 3x + 2$$

Zobacz także
Ostatnie 7 dni na Odrabiamy w liczbach...
ROZWIĄZALIŚMY0ZADAŃ
zadania
wiadomości
ODPOWIEDZIELIŚMY NA0WIADOMOŚCI
NAPISALIŚCIE0KOMENTARZY
komentarze
... i0razy podziękowaliście
Autorom