Podstawą ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego jest sześciokąt foremny. Ten składa się z sześciu przystających trójkątów równobocznych o boku długości $2a$ . Obliczamy jego pole (korzystamy ze wzoru na pole trójkąta równobocznego).

$P_p=6\cdot P_{{\Delta }_1}=6\cdot \frac{{\left(2a\right)}^2\cdot \sqrt{3}}{4}=6\cdot \frac{\cancel{4}{a}^2\cdot \sqrt{3}}{\cancel{4}}=6\cdot \sqrt{3}{a}^2=6\sqrt{3}{a}^2$  

Wiemy, że krawędź boczna jest $4$  razy dłuższa od krawędzi podstawy, zatem ma ona długość  $8a$ . Połowa krawędzi podstawy ma długość  $a$ . Przez  $h$  oznaczamy wysokość ściany bocznej.

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla zamalowanego trójkąta, wyznaczymy długość  $h$ .

$a^2+h^2={\left(8a\right)}^2$  

$a^2+h^2=64a^2\mid -a^2$  

$h^2=63a^2$  

$h=\sqrt{63}a=\sqrt{9\cdot 7}a=\sqrt{9}\cdot \sqrt{7}a=3\sqrt{7}a$  

Pole powierzchni bocznej składa się z pól sześciu przystających trójkątów. 

$P_b=6\cdot P_{{\Delta }_2}=6\cdot \frac{1}{2}\cdot 2a\cdot h=6\cdot \frac{1}{\cancel{2}}\cdot \cancel{2}a\cdot 3\sqrt{7}a=18\sqrt{7}{a}^2$  

Pole powierzchni całkowitej tej bryły wynosi

$P_c=P_p+P_b=6\sqrt{3}{a}^2+18\sqrt{7}{a}^2=\left(6\sqrt{3}+18\sqrt{7}\right)a^2=6\left(\sqrt{3}+3\sqrt{7}\right){\mathbf{a}}^2$