Oznaczmy:

$x_i-\text{ocena semestralna z języka polskiego}i-\text{tego ucznia}$  

 

Wiemy, że zachodzą równości:

$\frac{x_1+x_2+\dots +x_{11}+x_{12}}{12}=3,5$  

$\frac{x_{13}+x_{14}+x_{15}+x_{16}+x_{17}+x_{18}+x_{19}+x_{20}}{8}=3,25$  

$\frac{x_{21}+x_{22}+\dots +x_{29}+x_{30}}{10}=4,3$  

 

Mnożąc pierwsze równanie razy 12, drugie razy 8, a trzecie razy 10, otrzymamy sumę ocen semestralnych uczniów w pierwszej, drugiej oraz trzeciej grupie:

$x_1+x_2+\dots +x_{11}+x_{12}=12\cdot 3,5$  

$x_{13}+x_{14}+\dots +x_{19}+x_{20}=8\cdot 3,25$  

$x_{21}+x_{22}+\dots +x_{29}+x_{30}=10\cdot 4,3$  

 

Mamy więc:

$x_1+x_2+\dots +x_{11}+x_{12}=42$  

$x_{13}+x_{14}+\dots +x_{19}+x_{20}=26$  

$x_{21}+x_{22}+\dots +x_{29}+x_{30}=43$  

 

Gdyby ci trzej uczniowie zamiast oceny 1 uzyskali ocenę 2,

to suma ocen w pierwszej grupie podniosłaby się o 3 (bo 3∙(2-1)=3∙1=3).

Wtedy suma ocen w pierwszej grupie wynosiłaby:

$42+3=45$  

 

Wtedy średnia ocen w pierwszej grupie byłaby równa:

$\frac{45}{12}=\frac{15}{4}=3\frac{3}{4}=3,75$  

 

Średnia ocen w całej klasie wynosiłaby:

$\frac{45+26+43}{12+8+10}=\frac{114}{30}=\frac{38}{10}=3,8$   

 

Obliczamy, o ile zwiększyłaby się średnia ocen w pierwszej grupie:

$3,75-3,5=0,25$  

 

Obliczmy jeszcze, ile wynosiła średnia ocen całej klasy na początku:

$\frac{42+26+43}{12+8+10}=\frac{111}{30}=\frac{37}{10}=3,7$  

 

Obliczamy, o ile zwiększyłaby się średnia ocen w całej klasie:

$3,8-3,7=0,1$  

 

 

$\underline{\text{uwaga}}$  

Warto zauważyć, że zadanie można rozwiązać szybciej.

Jeśli ci uczniowie otrzymaliby 2 zamiast 1,

to suma ocen w pierwszej grupie (a więc także w całej klasie) zwiększyłaby się o 3. 

Pierwsza grupa liczby 12 osób, więc średnia ocen w pierwszej grupie zwiększyłaby sie o:

$\frac{3}{12}=\frac{1}{4}=\frac{25}{100}=0,25$  

 

Cała klasa liczy 30 osób, więc średnia osób w całej klasie zwiększyłaby się o:

$\frac{3}{30}=\frac{1}{10}=0,1$