a)

$\underset{x\to 4}{\lim }\frac{x^3-9}{4x-5}=\frac{4^3-9}{4\cdot 4-5}=\frac{64-9}{16-5}=\frac{55}{11}=5$      

---

b)

$\underset{x\to -3}{\lim }\frac{x^3-1}{2-x^2}=\frac{{\left(-3\right)}^3-1}{2-{\left(-3\right)}^2}=\frac{-27-1}{2-9}=\frac{-28}{-7}=4$  

---

c)

$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^2-4}{2-x}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}{-\left(x-2\right)}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x+2}{-1}=\frac{2+2}{-1}=-4$  

---

d)

$\underset{x\to -1}{\lim }\frac{x^4-1}{x^3-x}=\underset{x\to -1}{\lim }\frac{x^3\left(x-\frac{1}{x^3}\right)}{x^3\left(1-\frac{1}{x^2}\right)}=\underset{x\to -1}{\lim }\frac{x^2+1}{x}=$  

$=\underset{x\to -1}{\lim }\frac{x\left(x+\frac{1}{x}\right)}{x\cdot 1}=\underset{x\to -1}{\lim }\left(x+\frac{1}{x}\right)=-1+\frac{1}{-1}=-1-1=-2$  

---

e)

$\underset{x\to 4}{\lim }\frac{x^2-3x-4}{x^2-16}$  

Rozkładając licznik otrzymujemy

$\Delta ={\left(-3\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-4\right)=9+16=25$  

$x_1=\frac{3-5}{2}=\frac{-2}{2}=-1$  

$x_2=\frac{3+5}{2}=\frac{8}{2}=4$  

Zatem

$x^2-3x-4=\left(x+1\right)\left(x-4\right)$  

 

$\underset{x\to 4}{\lim }\frac{\left(x+1\right)\left(x-4\right)}{\left(x-4\right)\left(x+4\right)}=\underset{x\to 4}{\lim }\frac{x+1}{x+4}=\frac{4+1}{4+4}=\frac{5}{8}$  

---

f)

$\underset{x\to 3}{\lim }\frac{x^2-9}{x^2-x-6}$  

Rozkładając mianownik otrzymujemy

$\Delta ={\left(-1\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-6\right)=1+24=25$  

$x_1=\frac{1-5}{2}=\frac{-4}{2}=-2$  

$x_2=\frac{1+5}{2}=\frac{6}{2}=3$  

Zatem

$x^2-x-6=\left(x+2\right)\left(x-3\right)$  

 

$\underset{x\to 3}{\lim }\frac{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}{\left(x+2\right)\left(x-3\right)}=\underset{x\to 3}{\lim }\frac{x+3}{x+2}=\frac{3+3}{3+2}=\frac{6}{5}=1\frac{1}{5}$  

---

g)

$\underset{x\to 3}{\lim }\frac{-x^2+4x-3}{x^2-5x+6}$  

Rozkładając licznik otrzymujemy

$\Delta =4^2-4\cdot \left(-1\right)\cdot \left(-3\right)=16-12=4$  

$x_1=\frac{-4-2}{-2}=\frac{-6}{-2}=3$  

$x_2=\frac{-4+2}{-2}=\frac{-2}{-2}=1$  

Zatem

$-x^2+4x-3=-1\left(x-3\right)\left(x-1\right)$  

Rozkładając mianownik otrzymujemy

$\Delta ={\left(-5\right)}^2-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1$  

$x_1=\frac{5-1}{2}=\frac{4}{2}=2$  

$x_2=\frac{5+1}{2}=\frac{6}{2}=3$  

Zatem

$x^2-5x+6=\left(x-2\right)\left(x-3\right)$  

 

$\underset{x\to 3}{\lim }\frac{-1\left(x-3\right)\left(x-1\right)}{\left(x-2\right)\left(x-3\right)}=\underset{x\to 3}{\lim }\frac{-1\left(x-1\right)}{x-2}=\frac{-1\cdot \left(3-1\right)}{3-2}=\frac{-2}{1}=-2$  

---

h)

$\underset{x\to -2}{\lim }\frac{x^2+x-2}{x^3+8}$  

Rozkładając licznik otrzymujemy

$\Delta =1^2-4\cdot 1\cdot \left(-2\right)=1+8=9$  

$x_1=\frac{-1-3}{2}=\frac{-4}{2}=-2$  

$x_2=\frac{-1+3}{2}=\frac{2}{2}=1$  

Zatem

$x^2+x-2=\left(x+2\right)\left(x-1\right)$  

Rozkładając mianownik otrzymujemy

$x^3+8=x^3+2^3=\left(x+2\right)\left(x^2-2x+4\right)$  

 

$\underset{x\to -2}{\lim }\frac{\left(x+2\right)\left(x-1\right)}{\left(x+2\right)\left(x^2-2x+4\right)}=\underset{x\to -2}{\lim }\frac{x-1}{x^2-2x+4}=$

$=\frac{-2-1}{{\left(-2\right)}^2-2\cdot \left(-2\right)+4}=\frac{-3}{4+4+4}=\frac{-3}{12}=-\frac{1}{4}$  

---

i)

$\underset{x\to -1}{\lim }\frac{x^3-3x-2}{2x^3+3x^2-1}$  

Rozkładając licznik otrzymujemy

$x^3-3x-2=\left(x^2+2x+1\right)\left(x-2\right)$  

$\Delta =2^2-4\cdot 1\cdot 1=4-4=0$  

$x=\frac{-2}{2}=-1$  

Zatem

$x^3-3x-2={\left(x+1\right)}^2\left(x-2\right)$  

 

Rozkładając mianownik otrzymujemy

$2x^3+3x^2-1=\left(2x^2+x-1\right)\left(x+1\right)$  

$\Delta =1^2-4\cdot 2\cdot \left(-1\right)=1+8=9$  

$x_1=\frac{-1-3}{2\cdot 2}=\frac{-4}{4}=-1$  

$x_2=\frac{-1+3}{2\cdot 2}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$  

Zatem

$2x^3+3x^2-1=2\left(x+1\right)\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x+1\right)$  

$2x^3+3x^2-1=2{\left(x+1\right)}^2\left(x-\frac{1}{2}\right)$  

 

$\underset{x\to -1}{\lim }\frac{{\left(x+1\right)}^2\left(x-2\right)}{2{\left(x+1\right)}^2\left(x-\frac{1}{2}\right)}=\underset{x\to -1}{\lim }\frac{x-2}{2\left(x-\frac{1}{2}\right)}=$  

$=\frac{-1-2}{2\cdot \left(-1-\frac{1}{2}\right)}==\frac{-3}{2\cdot \left(-\frac{3}{2}\right)}=\frac{-3}{-3}=1$