Rysunek pomocniczy:

Zauważmy, że długość odcinka RP to odległość środka wysokości ostrosłupa od krawędzi bocznej.   

Wiemy, że odległość zawsze jest poprowadzona pod kątem prostym, zatem miara kąta SRP to 90^o. 

Z treści zadania wiemy, że:

$\left|AB\right|=\left|BC\right|=\left|CD\right|=\left|DA\right|=4$      

$\left|AO\right|=\frac{1}{2}\cdot 4\sqrt{2}=2\sqrt{2}$  

$\left|RP\right|=1$  

$\left|SP\right|=\left|PO\right|=\frac{1}{2}h$  

$\left|\angle SRP\right|={90}^{\circ }$  

 

Z tw. Pitagorasa dla trójkąta SRP:

${\left|SR\right|}^2+1^2={\left(\frac{1}{2}h\right)}^2$  

${\left|SR\right|}^2=\frac{1}{4}{h}^2-1$  

$\left|SR\right|=\sqrt{\frac{1}{4}{h}^2-1}$  

 

Z podobieństwa trójkątów SRP i SOA otrzymujemy:

$\frac{\left|SR\right|}{\left|RP\right|}=\frac{\left|OS\right|}{\left|AO\right|}$  

$\frac{\sqrt{\frac{1}{4}{h}^2-1}}{1}=\frac{h}{2\sqrt{2}}$  

$h=\sqrt{\frac{1}{4}{h}^2-1}\cdot 2\sqrt{2}{\mid }^2$  

$h^2=\left(\frac{1}{4}{h}^2-1\right)\cdot 8$  

$h^2=2h^2-8$  

$h^2=8$  

$h=2\sqrt{2}$  

 

$V=\frac{1}{3}{P}_p\cdot h$  

$V=\frac{1}{3}\cdot 4^2\cdot 2\sqrt{2}$  

$V=\frac{32\sqrt{2}}{3}$