a)

Trójkąt ABC:

$\left|\angle BCA\right|={90}^o$  

$\left|\angle CBA\right|=\alpha$  

$\left|\angle BAC\right|=\beta$  

$\alpha +\beta +{90}^o={180}^o$  

$\alpha +\beta ={90}^o$     

 

Trójkąt ACD:

$\left|\angle ADC\right|={90}^o$  

$\left|\angle DAC\right|=\left|\angle BAC\right|=\beta$  

$\left|\angle DCA\right|={180}^o-\left({90}^o+\beta \right)={90}^o-\beta =\alpha$  

 

Trójkąt CBD:

$\left|\angle CDB\right|={90}^o$  

$\left|\angle CBD\right|=\left|\angle CBA\right|=\alpha$  

$\left|\angle DCB\right|={180}^o-\left({90}^o+\alpha \right)=906o-\alpha =\beta$  

 

Trójkąty te są podobne na mocy cechy KKK.

---

b)

$\left|AC\right|=b$  

$\left|BC\right|=a$  

$\left|AB\right|=x+y$  

 

Korzystając z tw. Pitagorasa otrzymujemy równania:

$a^2+b^2={\left(x+y\right)}^2$  

$x^2+h^2=a^2$  

$h^2+y^2=b^2$  

Dodając stronami  drugie i trzecie równanie otrzymujemy:

$x^2+y^2+2h^2=a^2+b^2$  

Podstawiając pierwsze równanie otrzymujemy:

$x^2+y^2=2h^2={\left(x+y\right)}^2$  

$x^2+y^2+2h^2=x^2+2xy+y^2\mid -x^2-y^2$  

$2h^2=2xy\mid :2$  

$h^2=xy$  

$h=\sqrt{xy}$