$a)$  

Jeśli kąt rozwarcia stożka ma 60°, to przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym

(wynika to stąd, że przekrój osiowy stożka to trójkąt równoramienny, którego kąt między ramionami to właśnie kąt rozwarcia stożka). 

Tworząca stożka oraz średnica podstawy stożka mają więc jednakową długość:

Zachodzi więc równość:

$l=2r$  

 

Wiemy, ile jest równe pole powierzchni bocznej, więc możemy zapisać równanie:

$\pi rl=8\pi$  

$\pi \cdot r\cdot 2r=8\pi$  

$2\pi r^2=8\pi \mid :2\pi$  

$r^2=4$  

$r=2\left[cm\right]$  

$l=2r=2\cdot 2=4\left[cm\right]$  

 

Wysokość ostrosłupa to wysokość trójkąta równobocznego o boku 4 cm. 

$h=\frac{4\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}\left[cm\right]$  

 

Obliczamy objętość stożka:

$V=\frac{1}{3}\pi \cdot 2^2\cdot 2\sqrt{3}=\frac{1}{3}\pi \cdot 4\cdot 2\sqrt{3}=\frac{8}{3}\sqrt{3}\pi \left[c{m}^3\right]$  

---

$b)$  

Znając pole podstawy otrzymujemy równanie:

$P_p=\pi r^2$  

$\left(18-9\sqrt{3}\right)\pi =\pi r^2\mid :\pi$

$9\left(2-\sqrt{3}\right)=r^2$   

$3\sqrt{2-\sqrt{3}}=r$  

 

Rysunek pomocniczy:

Korzystając z funkcji trygonometrycznych otrzymujemy:

   $\frac{h}{r}=\mathrm{tg}{75}^{\circ }$  

Obliczmy wartość  $\mathrm{tg}{75}^{\circ }$  

$\mathrm{tg}{75}^{\circ }=\mathrm{tg}\left({45}^{\circ }+{30}^{\circ }\right)=\frac{\mathrm{tg}{45}^{\circ }+\mathrm{tg}{30}^{\circ }}{1-\mathrm{tg}{45}^{\circ }\mathrm{tg}{30}^{\circ }}=\frac{1+\frac{\sqrt{3}}{3}}{1-1\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}}=$  

$=\frac{\frac{3}{3}+\frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{3}{3}-\frac{\sqrt{3}}{3}}=\frac{3+\sqrt{3}}{3}\cdot \frac{3}{3-\sqrt{3}}=\frac{3+\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}=\frac{3+\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}\cdot \frac{3+\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}=$  

$=\frac{9+6\sqrt{3}+3}{9-3}=\frac{12+6\sqrt{3}}{6}=2+\sqrt{3}$  

 

$\frac{h}{3\sqrt{2-\sqrt{3}}}=2+\sqrt{3}$  

$h=\left(2+\sqrt{3}\right)3\sqrt{2-\sqrt{3}}$  

 

$P=\frac{1}{2}\cdot 2r\cdot h$  

$P=r\cdot h$  

$P=3\sqrt{2-\sqrt{3}}\cdot \left(2+\sqrt{3}\right)3\sqrt{2-\sqrt{3}}$  

$P={\left(3\sqrt{2-\sqrt{3}}\right)}^2\left(2+\sqrt{3}\right)$  

$P=9\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)$  

$P=9\left(2^2-{\sqrt{3}}^2\right)$  

$P=9\left[{\text{cm}}^2\right]$  

---

$\text{c)}$  

$P_p=\left(50+25\sqrt{2}\right)\pi$  

$\pi r^2=\left(50+25\sqrt{2}\right)\pi \mid :\pi$  

$r^2=25\left(2+\sqrt{2}\right)$  

$r=5\sqrt{2+\sqrt{2}}$  

 

$l=10$  

 

Rysunek pomocniczy:

Korzystając z tw. cosinusów otrzymujemy:

${\left(2r\right)}^2=l^2+l^2-2\cdot l\cdot l\cdot \cos \alpha$  

$4r^2=2l^2\left(1-\cos \alpha \right)\mid :2$  

$2r^2=l^2\left(1-\cos \alpha \right)$  

$2\cdot 25\left(2+\sqrt{2}\right)=100\left(1-\cos \alpha \right)$  

$\frac{50\left(2+\sqrt{2}\right)}{100}=1-\cos \alpha$  

$\frac{2+\sqrt{2}}{2}=1-\cos \alpha \mid -1$  

$\frac{2+\sqrt{2}}{2}-\frac{2}{2}=-\cos \alpha$  

$\frac{\sqrt{2}}{2}=-\cos \alpha$  

$\cos {45}^{\circ }=\cos \left({180}^{\circ }-\alpha \right)$  

${45}^{\circ }={180}^{\circ }-\alpha \mid -{180}^{\circ }$  

$-{135}^{\circ }=-\alpha \mid :\left(-1\right)$  

${135}^{\circ }=\alpha$