Punkty I, J, K, L, M, N są środkami odpowiednich krawędzi sześcianu. 

Odcinki AI, IB, BJ, JC, CK, KG, GL, LH, HM, ME, EN, NA mają więc jednakową długość - równą długości połowy krawędzi sześcianu.   

$\left|AI\right|=\left|IB\right|=\left|BJ\right|=\left|JC\right|=\left|CK\right|=\left|KG\right|=\left|GL\right|=$  

$=\left|LH\right|=\left|HM\right|=\left|ME\right|=\left|EN\right|=\left|NA\right|=a:2=\frac{1}{2}a$  

 

Trójkąty NAI, IBJ, JCK, KGL, LHM, MEN są więc trójkątami prostokątnymi równoramiennymi o przyprostokątnych długości $\frac{1}{2}a$  .

Oznaczmy długości:

$\left|NI\right|=\left|IJ\right|=\left|JK\right|=\left|KL\right|=\left|LM\right|=\left|MN\right|=x$  

Skoro te wszystkie długości są równe, to jest to sześciokąt foremny.

 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać:

${\left(\frac{1}{2}a\right)}^2+{\left(\frac{1}{2}a\right)}^2=x^2$  

$\frac{1}{4}{a}^2+\frac{1}{4}{a}^2=x^2$  

$\frac{2}{4}{a}^2=x^2$  

$\frac{\sqrt{2}}{2}a=x$  

 

Wiemy już, że bok sześciokąta foremnego ma długość $\frac{\sqrt{2}}{2}a$  .

 

Pole sześciokąta foremnego o boku a można obliczyć, biorąc pola 6 trójkątów równobocznych o boku a:

$P=6\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$  

 

Obliczmy więc pole naszego sześciokąta:

$P=\frac{3\cdot {\left(\frac{\sqrt{2}}{2}a\right)}^2\sqrt{3}}{2}=\frac{3\cdot \frac{2}{4}{a}^2\sqrt{3}}{2}=\frac{\frac{3}{2}{a}^2\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{4}{a}^2$