Oznaczmy długość krawędzi sześcianu jako a. 

 

$a)$  

Odcinek A₁E stanowi połowę boku sześcianu. 

$\left|A_{1}E\right|=\frac{1}{2}a$  

 

Odcinek A₁B jest przekątną kwadratu o boku a. Znamy wzór na długość przekątnej kwadratu o boku a. 

$\left|A_{1}B\right|=a\sqrt{2}$   

 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczymy, jaką długość ma odcinek EB:

${\left|A_{1}E\right|}^2+{\left|A_{1}B\right|}^2={\left|EB\right|}^2$  

${\left(\frac{1}{2}a\right)}^2+{\left(a\sqrt{2}\right)}^2={\left|EB\right|}^2$  

$\frac{1}{4}{a}^2+2a^2={\left|EB\right|}^2$  

${\left|EB\right|}^2=2\frac{1}{4}{a}^2$  

${\left|EB\right|}^2=\frac{9}{4}{a}^2$  

$\left|EB\right|=\frac{3}{2}a$  

 

Sinus kąta w trójkącie prostokątnym to stosunek długości przyprostokątnej naprzeciw tego kąta do długości przeciwprostokątnej. 

$\sin \alpha =\frac{\left|A_{1}E\right|}{\left|EB\right|}=\frac{\frac{1}{2}a}{\frac{3}{2}a}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}}=\frac{1}{2}:\frac{3}{2}=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}=\frac{1}{3}$  

---

$b)$  

  

 

W poprzednim punkcie obliczyliśmy już, jaką długość ma odcinek EB. 

$\left|EB\right|=\frac{3}{2}a$  

 

Odcinek EF ma taką samą długość, jak krawędź sześcianu:

$\left|EF\right|=a$  

 

Obliczamy szukaną wartość:

$\sin \alpha =\frac{\left|EF\right|}{\left|EB\right|}=\frac{a}{\frac{3}{2}a}=\frac{1}{\frac{3}{2}}=\frac{2}{3}$