$a)$  

Z treści zadania wiadomo, że:

$\cos \alpha =\frac{1}{3}$  

Zapiszmy cosinus kąta alfa dla zamalowanego trójkąta:

$\frac{6}{a}=\frac{1}{3}$  

Mnożąc "na krzyż" wyznaczymy wartość a:

$3\cdot 6=a\cdot 1$  

$18=a$  

$a=18\left[cm\right]$  

 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczymy, jaką długość ma wysokość graniastosłupa (h):

$6^2+h^2=a^2$  

$36+h^2={18}^2$  

$36+h^2=324\mid -36$  

$h^2=288$  

$h=\sqrt{288}=\sqrt{144}\cdot \sqrt{2}=12\sqrt{2}\left[cm\right]$  

 

Obliczamy pole podstawy, czyli pole trójkąta równobocznego o boku 6 cm:

$P_p=\frac{6^2\sqrt{3}}{4}=\frac{36\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}\left[c{m}^2\right]$   

 

Wiemy, jaką długość ma wysokość graniastosłupa, więc możemy obliczyć pole powierzchni bocznej (składają się na nie 3 jednakowe prostokąty). 

$P_b=3\cdot 6\cdot 12\sqrt{2}=216\sqrt{2}\left[c{m}^2\right]$  

 

Obliczamy pole powierzchni całkowitej:

$P_c=2\cdot 9\sqrt{3}+216\sqrt{2}=18\sqrt{3}+216\sqrt{2}\left[c{m}^2\right]$  

---

$b)$  

Z treści zadania wiadomo, że:

$\cos \alpha =\frac{1}{3}$  

Zapiszmy cosinus kąta alfa dla zamalowanego trójkąta:

$\frac{x}{a}=\frac{1}{3}$  

Mnożąc "na krzyż" otrzymujemy:

$3x=a$  

 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać:

$x^2+6^2=a^2$  

Podstawmy 3x w miejsce a:

$x^2+36={\left(3x\right)}^2$  

$x^2+36=9x^2\mid -x^2$  

$36=8x^2\mid :8$  

$x^2=\frac{36}{8}$  

$x^2=\frac{9}{2}$  

$x=\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$  

 

Obliczamy pole podstawy, czyli pole trójkąta równobocznego o boku x:

$P_p=\frac{{\left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)}^2\cdot \sqrt{3}}{4}=\frac{\frac{9\cdot 2}{4}\sqrt{3}}{4}=\frac{\frac{9}{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{9}{2}\sqrt{3}\cdot \frac{1}{4}=\frac{9}{8}\sqrt{3}\left[c{m}^2\right]$  

 

Obliczamy pole powierzchni bocznej:

$P_b=3\cdot \frac{3\sqrt{2}}{{\sout{2}}^1}\cdot {\sout{6}}^3=27\sqrt{2}\left[c{m}^2\right]$  

 

Obliczamy pole powierzchni całkowitej:

$P_c=2\cdot \frac{9}{8}\sqrt{3}+27\sqrt{2}=2,25\sqrt{3}+27\sqrt{2}\left[c{m}^2\right]$