$\text{a)}$  

$2^{x-3}=16$  

$2^{x-3}=2^4$  

$x-3=4\mid +3$  

$x=7$    

---

$\text{b)}$  

$2^{x+5}=\frac{1}{2}$  

$2^{x+5}=2^{-1}$  

$x+5=-1\mid -5$  

$x=-6$  

---

$\text{c)}$  

$2^{3x-1}=1024$  

$2^{3x-1}=2^{10}$  

$3x-1=10\mid +1$  

$3x=11\mid :3$  

$x=\frac{11}{3}$  

$x=3\frac{2}{3}$  

---

$\text{d)}$  

$5^{2x+5}=125$  

$5^{2x+5}=5^3$  

$2x+5=3\mid -5$  

$2x=-2\mid :2$  

$x=-1$  

---

$\text{e)}$  

$7^{4x^2+1}=49$  

$7^{4x^2+1}=7^2$  

$4x^2+1=2\mid -1$  

$4x^2=1\mid :4$  

$x^2=\frac{1}{4}$  

$x=\frac{1}{2}\vee x=-\frac{1}{2}$  

---

$\text{f)}$  

${\left(\frac{2}{3}\right)}^{2-x^2}=\frac{9}{4}$  

${\left(\frac{2}{3}\right)}^{2-x^2}={\left(\frac{2}{3}\right)}^{-2}$  

$2-x^2=-2\mid -2$  

$-x^2=-4\mid :\left(-1\right)$  

$x^2=4$  

$x=2\vee x=-2$  

---

$\text{g)}$  

$2^{\sin x}=1$  

$2^{\sin x}=2^0$  

$\sin x=0$  

$x=0+k\pi ,k\in \mathbb{C}$  

---

$\text{h)}$  

$2^{|\cos x|}=1$  

$2^{|\cos x|}=2^0$  

$\left|\cos x\right|=0$  

$x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{C}$