Rysunek pomocniczy:

Przyjmujemy takie oznaczenia, jak na rysunku.

Wiemy, że długość boku kwadratu wynosi 4, czyli:

$\left|AB\right|=\left|BK\right|=\left|LK\right|=\left|AL\right|=4$  

Wyznaczmy długość wysokości trójkąta równobocznego AB:

$\left|CS\right|=\frac{{\sout{4}}^2\sqrt{3}}{{\sout{2}}^1}=2\sqrt{3}$

Odcinek CS zbudowany jest z dwóch odcinków:

$\left|CS\right|=\left|CM\right|+\left|MS\right|=2\sqrt{3}$  

Zauważmy, że odcinki RC oraz MS mają równą długość:

$\left|RC\right|=\left|MS\right|\left(\star \right)$   

Odcinek RS zbudowany jest z 3 odcinków, a jego długość wynosi 4:

$\left|RS\right|=\left|RC\right|+\left|CM\right|+\left|MS\right|=4$  

Korzystając z gwiazdki otrzymujemy:

$\left|CM\right|+2\left|MS\right|=4$  

 

Rozwiązujemy układ równań:

$\{\begin{array}{l}\left|CM\right|+\left|MS\right|=2\sqrt{3}\left|-\right|MS\mid \\ \left|CM\right|+2\left|MS\right|=4\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}\left|CM\right|=2\sqrt{3}-\left|MS\right|\\ 2\sqrt{3}-\left|MS\right|+2\left|MS\right|=4\mid -2\sqrt{3}\end{array}$   

$\{\begin{array}{l}\left|CM\right|=2\sqrt{3}-\left|MS\right|\\ \left|MS\right|=4-2\sqrt{3}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}\left|MS\right|=4-2\sqrt{3}\\ \left|CM\right|=2\sqrt{3}-4+2\sqrt{3}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}\left|MS\right|=4-2\sqrt{3}\\ \left|CM\right|=4\sqrt{3}-4\end{array}$   

Długość dłużej przekątnej w rombie wynosi:

$\left|CM\right|=4\sqrt{3}-4=\underline{\underline{4\left(\sqrt{3}-1\right)}}$  

 

Zauważmy, że krótsza przekątna dzieli romb na dwa trójkąty równoboczne.

Stąd długość dłuższej przekątnej odpowiada dwóm wysokościom małych trójkątów równobocznych PMQ oraz PQC.

Wyznaczamy długość wysokości w trójkątach PMQ oraz PQC:

$\left|CO\right|=\left|MO\right|=\frac{4\left(\sqrt{3}-1\right)}{2}=2\left(\sqrt{3}-1\right)$  

Korzystając ze wzoru na długość wysokości w trójkącie równobocznym (dla trójkąta PMQ) otrzymujemy:

$\left|MO\right|=\frac{\left|PQ\right|\cdot \sqrt{3}}{2}$  

$2\left(\sqrt{3}-1\right)=\frac{\left|PQ\right|\cdot \sqrt{3}}{2}\mid \cdot 2$

$4\left(\sqrt{3}-1\right)=\left|PQ\right|\cdot \sqrt{3}\mid :\sqrt{3}$  

$\left|PQ\right|=\frac{4\left(\sqrt{3}-1\right)}{\sqrt{3}}$  

Usuwamy niewymierność z mianownika:

$\left|PQ\right|=\frac{4\left(\sqrt{3}-1\right)}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{3}\left(\sqrt{3}-1\right)}{3}=\frac{12-4\sqrt{3}}{3}=4-\frac{4}{3}\sqrt{3}=4\left(1-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$    

Długość krótszej przekątnej w rombie wynosi:

$\left|PQ\right|=\underline{\underline{4\left(1-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)}}$