Kartka I - kwadrat o wymiarach 8 x 8

a) Największe możliwe koło, jakie możemy wyciąć z kartki mającej kształt kwadratu, ma średnicę równą długości boku kwadratu.

W przypadki kartki, która jest kwadratem o boku długości 8, największe koło, jakie możemy wyciąć będzie miało średnicę równą 8, czyli promień wyciętego koła będzie miał długość 4 (długość średnicy jest dwa razy większa od długości promienia).

${\text{P}}_{\text{k}}=\pi r^2$  

${\text{P}}_{\text{k}}=\pi \cdot 4^2=16\pi \left[j^2\right]$   

Odp: Największe koło, jakie możemy wyciąć z tej kartki ma 16𝜋 [j²].

$\underline{}$  

b) Obliczmy pole kartki. Następnie obliczymy, jaki procent kartki zajmuje wycięte koło.

Od 100% (czyli całej kartki) odejmiemy procent jaki zajmuje wycięte koło i otrzymamy, ile procent zajmują ścinki.

${\text{P}}_{\text{kartki}}=8^2=64\left[j^2\right]$  

Obliczmy jaki procent kartki stanowi wycięte koło:

$\frac{{\text{P}}_{\text{k}}}{{\text{P}}_{\text{kartki}}}\cdot 100\%=\frac{{\sout{16}}^1\pi }{{\sout{64}}^4}\cdot 100\%=\frac{\pi }{{\sout{4}}^1}\cdot {\sout{100}}^{25}\%=25\pi \%$    

Przyjmując 𝜋 ≈3,14:

$\frac{{\text{P}}_{\text{k}}}{{\text{P}}_{\text{kartki}}}\cdot 100\%=25\pi \%\approx 25\cdot 3,14\%=78,5\%$  

Obliczmy ile procent zajmują ścinki:

$100\%-78,5\%=21,5\%$  

Odp: Ścinki zajmują około 21,5% kartki.  

$\underline{}$  

c)

${\text{P}}_{\text{kwadrat}}=8^2=64\left[j^2\right]$  

Chcemy obliczyć, jaką długość ma promień koła, które ma pole równe polu kwadratu, czyli:

${\text{P}}_{\text{koło}}=64\left[j^2\right]$  

Pole koła obliczamy ze wzoru:

$\text{P}=\pi r^2$  

gdzie r - długość promienia koła 

Podstawmy dane pole do wzoru i obliczmy promień:

$64=\pi r^2:\mid :\pi$  

$\frac{64}{\pi }=r^2$  

$r=\sqrt{\frac{64}{\pi }}=\frac{\sqrt{64}}{\sqrt{\pi }}=\frac{8}{\sqrt{\pi }}=\frac{8\sqrt{\pi }}{\pi }\left[j\right]$   

$\underline{\underline{}}$   

Kartka II - prostokąt o wymiarach 12 x 10

Największe możliwe koło, jakie możemy wyciąć z kartki mającej kształt prostokąta, ma średnicę równą długości krótszego boku tego prostokąta.

W przypadki kartki, która jest prostokątem o wymiarach 12 x 10, największe koło, jakie możemy wyciąć będzie miało średnicę równą 10, czyli promień wyciętego koła będzie miał długość 5.

$\text{P}=\pi r^2$  

$\text{P}=\pi \cdot 5^2=25\pi \left[j^2\right]$  

Odp: Największe koło, jakie możemy wyciąć z tej kartki ma 25𝜋 [j²].

$\underline{}$   

b) Obliczmy pole kartki. Następnie obliczymy, jaki procent kartki zajmuje wycięte koło.

Od 100% (czyli całej kartki) odejmiemy procent jaki zajmuje wycięte koło i otrzymamy, ile procent zajmują ścinki.

${\text{P}}_{\text{kartki}}=12\cdot 10=120\left[j^2\right]$  

Obliczmy jaki procent kartki stanowi wycięte koło:

$\frac{{\text{P}}_{\text{k}}}{{\text{P}}_{\text{kartki}}}\cdot 100\%=\frac{25\pi }{{\sout{120}}^6}\cdot {\sout{100}}^5\%=\frac{125}{6}\pi \%$     

Przyjmując 𝜋≈3,14:

$\frac{{\text{P}}_{\text{k}}}{{\text{P}}_{\text{kartki}}}\cdot 100\%=\frac{125}{6}\pi \%\approx \frac{125}{6}\cdot 3,14\%\approx 65,4\%$  

Obliczmy ile procent zajmują ścinki:

$100\%-65,4\%=34,6\%$  

Odp: Ścinki zajmują około 34,6% kartki.  

$\underline{}$  

c) 

${\text{P}}_{\text{prostokąt}}=12\cdot 10=120\left[j^2\right]$  

Chcemy obliczyć, jaką długość ma promień koła, które ma pole równe polu kwadratu, czyli:

${\text{P}}_{\text{koło}}=120\left[j^2\right]$  

Pole koła obliczamy ze wzoru:

$\text{P}=\pi r^2$  

gdzie r - długość promienia koła 

Podstawmy dane pole do wzoru i obliczmy promień:

$120=\pi r^2:\mid :\pi$  

$\frac{120}{\pi }=r^2$  

$r=\sqrt{\frac{120}{\pi }}=\frac{\sqrt{120}}{\sqrt{\pi }}=\frac{\sqrt{4\cdot 30}}{\sqrt{\pi }}=\frac{\sqrt{4}\cdot \sqrt{30}}{\sqrt{\pi }}=2\sqrt{\frac{30}{\pi }}=2\frac{\sqrt{30\pi }}{\pi }\left[j\right]$    

$\underline{\underline{}}$   

Kartka III - równoległobok, którego dłuższy bok ma długość 14, a wysokość jest równa 8

Największe możliwe koło, jakie możemy wyciąć z kartki mającej kształt równoległoboku, ma średnicę równą długości wysokości  opuszczonej na dłuższy bok równoległoboku (długość średnicy równa długości krótszej wysokości) .

W przypadki kartki w kształcie równoległobokum, którego dłuższy bok ma długość 14, a wysokość - 8, największe koło, jakie możemy wyciąć będzie miało średnicę równą 8, czyli promień wyciętego koła będzie miał długość 4.

$\text{P}=\pi r^2$  

$\text{P}=\pi \cdot 4^2=16\pi \left[j^2\right]$  

Odp: Największe koło, jakie możemy wyciąć z tej kartki ma 16𝜋 [j²].

$\underline{}$   

b) Obliczmy pole kartki. Następnie obliczymy, jaki procent kartki zajmuje wycięte koło.

Od 100% (czyli całej kartki) odejmiemy procent jaki zajmuje wycięte koło i otrzymamy, ile procent zajmują ścinki.

${\text{P}}_{\text{kartki}}=14\cdot 8=112\left[j^2\right]$  

Obliczmy jaki procent kartki stanowi wycięte koło:

$\frac{{\text{P}}_{\text{k}}}{{\text{P}}_{\text{kartki}}}\cdot 100\%=\frac{{\sout{16}}^1\pi }{{\sout{112}}^7}\cdot 100\%=\frac{100}{7}\pi \%$     

Przyjmując 𝜋≈3,14:

$\frac{{\text{P}}_{\text{k}}}{{\text{P}}_{\text{kartki}}}\cdot 100\%=\frac{100}{7}\pi \%\approx \frac{100}{7}\cdot 3,14\%\approx 44,9\%$  

Obliczmy ile procent zajmują ścinki:

$100\%-44,9\%=55,1\%$  

Odp: Ścinki zajmują około 55,1% kartki.  

$\underline{}$  

c) 

${\text{P}}_{\text{roˊwnoległobok}}=14\cdot 8=112=120\left[j^2\right]$  

Chcemy obliczyć, jaką długość ma promień koła, które ma pole równe polu kwadratu, czyli:

${\text{P}}_{\text{koło}}=112\left[j^2\right]$  

Podstawmy dane pole do wzoru i obliczmy promień:

$112=\pi r^2:\mid :\pi$  

$\frac{112}{\pi }=r^2$  

$r=\sqrt{\frac{112}{\pi }}=\frac{\sqrt{112}}{\sqrt{\pi }}=\frac{\sqrt{16\cdot 7}}{\sqrt{\pi }}=\frac{\sqrt{16}\cdot \sqrt{7}}{\sqrt{\pi }}=4\sqrt{\frac{7}{\pi }}=4\frac{\sqrt{7\pi }}{\pi }\left[j\right]$    

$\underline{\underline{}}$   

Kartka IV - trapez równoramienny, którego krótsza podstawa ma długość 8, dłuższa podstawa ma długość 12, a wysokość wynosi 6

Największe możliwe koło, jakie możemy wyciąć z kartki mającej kształt trapezu równoramiennego, ma średnicę równą długości wysokości trapezu.

W przypadki kartki w kształcie trapezu, którego wysokość jest równa 6, największe koło, jakie możemy wyciąć będzie miało średnicę równą 6, czyli promień wyciętego koła będzie miał długość 3.

$\text{P}=\pi r^2$  

$\text{P}=\pi \cdot 3^2=9\pi \left[j^2\right]$  

Odp: Największe koło, jakie możemy wyciąć z tej kartki ma 9𝜋 [j²].

$\underline{}$   

b) Obliczmy pole kartki. Następnie obliczymy, jaki procent kartki zajmuje wycięte koło.

Od 100% (czyli całej kartki) odejmiemy procent jaki zajmuje wycięte koło i otrzymamy, ile procent zajmują ścinki.

${\text{P}}_{\text{kartki}}=\frac{\left(8+12\right)\cdot {\sout{6}}^3}{{\sout{2}}^1}=20\cdot 3=60\left[j^2\right]$   

Obliczmy jaki procent kartki stanowi wycięte koło:

$\frac{{\text{P}}_{\text{k}}}{{\text{P}}_{\text{kartki}}}\cdot 100\%=\frac{9\pi }{{\sout{60}}^3}\cdot {\sout{100}}^5\%=\frac{{\sout{9}}^3}{{\sout{3}}^1}\cdot 5\pi \%=15\pi \%$       

Przyjmując 𝜋≈3,14:

$\frac{{\text{P}}_{\text{k}}}{{\text{P}}_{\text{kartki}}}\cdot 100\%=15\pi \%\approx 15\cdot 3,14\%=47,1\%$  

Obliczmy ile procent zajmują ścinki:

$100\%-47,1\%=52,9\%$  

Odp: Ścinki zajmują około 52,9% kartki.  

$\underline{}$  

c) 

${\text{P}}_{\text{trapezu}}=\frac{\left(8+12\right)\cdot {\sout{6}}^3}{{\sout{2}}^1}=20\cdot 3=60\left[j^2\right]$  

Chcemy obliczyć, jaką długość ma promień koła, które ma pole równe polu kwadratu, czyli:

${\text{P}}_{\text{koło}}=60\left[j^2\right]$  

Podstawmy dane pole do wzoru i obliczmy promień:

$60=\pi r^2:\mid :\pi$  

$\frac{60}{\pi }=r^2$  

$r=\sqrt{\frac{60}{\pi }}=\frac{\sqrt{60}}{\sqrt{\pi }}=\frac{\sqrt{4\cdot 15}}{\sqrt{\pi }}=\frac{\sqrt{4}\cdot \sqrt{15}}{\sqrt{\pi }}=2\sqrt{\frac{15}{\pi }}=2\frac{\sqrt{15\pi }}{\pi }\left[j\right]$