a) 

- Dwa półokręgi, oba o promieniu równym 2. Obliczmy długość jednego półokręgu:

$r_1=2$  

$r_2=2$  

$l_1=\frac{1}{{\sout{2}}^1}\cdot 2\pi \cdot {\sout{2}}^1=2\pi$  

Suma długości obu półokręgów to:

$L=2\cdot l_1=2\cdot 2\pi =4\pi$  

 

- Dwa półokręgi, jeden o promieniu równym 1,5, a drugi o promieniu równym 2,5.

$r_1=1,5$  

$r_2=2,5$

Obliczmy długość półokręgu o promieniu równym 1,5:

$l_1=\frac{1}{{\sout{2}}^1}\cdot {\sout{2}}^1\pi \cdot 1,5=1,5\pi$  

Obliczmy długość półokręgu o promieniu równym 2,5:

$l_2=\frac{1}{{\sout{2}}^1}\cdot {\sout{2}}^1\pi \cdot 2,5=2,5\pi$

Suma długości obu półokręgów to:

$L=l_1+l_2=1,5\pi +2,5\pi =4\pi$  

 

- Dwa półokręgi, jeden o promieniu równym 3,5, a drugi o promieniu równym 0,5.

$r_1=3,5$  

$r_2=0,5$   

Obliczmy długość półokręgu o promieniu równym 3,5:

$l_1=\frac{1}{{\sout{2}}^1}\cdot {\sout{2}}^1\pi \cdot 3,5=3,5\pi$   

Obliczmy długość półokręgu o promieniu równym 0,5:

$l_2=\frac{1}{{\sout{2}}^1}\cdot {\sout{2}}^1\pi \cdot 0,5=0,5\pi$  

Suma długości obu półokręgów to:

$L=l_1+l_2=3,5\pi +0,5\pi =4\pi$  

W każdym przykładzie suma długości obu półokręgów wynosi 4𝜋.

Możemy także zauważy, że suma długości promieni obu półokręgów, w każdym przykładzie, wynosiła 4.

 

Prawidłowość: Suma długości dwóch półokręgów, o promieniach r₁ i r₂,  jest równa długości okręgu o promieniu długości ^(r₁+r₂)/₂.

Dowód:

Obliczmy długości poszczególnych okręgów:

$l_1=\frac{1}{{\sout{2}}^1}\cdot {\sout{2}}^1\pi r_1=\pi r_1$  

$l_2=\frac{1}{{\sout{2}}^1}\cdot {\sout{2}}^1\pi r_2=\pi r_2$

Znając długość każdego z półokręgów, obliczmy sumę długości tych półokręgów:

$l=l_1+l_2=\pi r_1+\pi r_2=\pi \left(r_1+r_2\right)$   

$\underline{\underline{}}$

b)

Obliczmy długości poszczególnych półokręgów.

$l_1=\frac{1}{{\sout{2}}^1}\cdot {\sout{2}}^1\pi \cdot \frac{d_1}{2}=\frac{d_1}{2}\pi$  

$l_2=\frac{1}{{\sout{2}}^1}\cdot {\sout{2}}^1\pi \cdot \frac{d_2}{2}=\frac{d_2}{2}\pi$  

$l_3=\frac{1}{{\sout{2}}^1}\cdot {\sout{2}}^1\pi \cdot \frac{d_3}{2}=\frac{d_3}{2}\pi$  

Znając długość każdego z półokręgów, obliczmy sumę długości tych półokręgów:

$l{=}_1+l_2+l_3=\frac{d_1}{2}\pi +\frac{d_2}{2}\pi +\frac{d_3}{2}\pi =\underline{\underline{\frac{d_1+d_2+d_3}{2}\pi }}$  

$\underline{}$  

Obliczmy teraz długość okręgu o średnicy (d) równej:

$d=\frac{d_1+d_2+d_3}{2}$  

Promień okregu, jest dwa razy krótszy od średnicy, więc:

$r=\frac{1}{2}d=\frac{1}{2}\cdot \frac{d_1+d_2+d_3}{2}=\frac{d_1+d_2+d_3}{4}$  

Obliczmy obwód okręgu o wyznaczonym powyżej promieniu:

$L={\sout{2}}^1\pi \cdot \frac{d_1+d_2+d_3}{{\sout{4}}^2}=\underline{\underline{\frac{d_1+d_2+d_3}{2}\pi }}$  

 

Otrzymaliśmy, że:

$l=L$