Dana jest objętość ostrosłupa prawidłowego i wynosi 256:

$V=256\left[j^3\right]$  

 

a) Rysunek pomocniczy:

Przyjmujemy oznaczenia takie, jak na rysunku.

Z rysunku możemy odczytać wysokość ostrosłupa:

$H=6$  

Podstawiając dane do wzoru na objętość ostrosłupa obliczamy pole podstawy:

$V=\frac{1}{3}\cdot P_p\cdot H$  

$256=\frac{1}{{\sout{3}}^1}\cdot P_p\cdot {\sout{6}}^2$   

$256=2\cdot P_p\mid :2$  

$P_p=128\left[j^2\right]$   

Ostrosłup jest ostrosłupem prawidłowym czworokątnym, więc w jego podstawie znajduje się kwadrat.

Korzystając ze wzoru na pole kwadratu wyznaczamy długość krawędzi podstawy ostrosłupa:

$P_p=a^2$  

$128=a^2$  

$a=\sqrt{128}=\sqrt{64\cdot 2}=8\sqrt{2}$  

 

Odcinek c stanowi połowę długości przekątnej (przekątną w kwadracie obliczamy ze wzoru d=a√2, gdzie d - długość przekątnej, a - długość boku kwadratu),

stąd:

$c=\frac{1}{{\sout{2}}^1}\cdot {\sout{8}}^4\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=4\cdot 2=8$  

Ostrosłup jest ostrosłupem prawidłowym, więc krawędzie boczne mają równą długość - na rysunku oznaczone jako b.

Krawędź boczna (b), odcinek c oraz wysokość ostrosłupa tworzą trójkąt prostokątny. Korzystając z tw. Pitagorasa obliczamy długość krawedzi bocznej b:

$b^2=6^2+c^2$  

$b^2=36+8^2$  

$b^2=36+64=100$  

$b=\sqrt{100}=10$  

 

Odp: Krawędzie podstawy mają długość 8√2, a długość krawędzi bocznych wynosi 10.

$\underline{\underline{}}$  

b) Rysunek pomocniczy:

Przyjmujemy oznaczenia takie, jak na rysunku.

Z rysunku możemy odczytać wysokość ostrosłupa:

$H=4\sqrt{3}$   

Podstawiając dane do wzoru na objętość ostrosłupa obliczamy pole podstawy:

$V=\frac{1}{3}\cdot P_p\cdot H$  

$256=\frac{1}{3}\cdot P_p\cdot 4\sqrt{3}:4$  

$64=\frac{1}{3}\cdot P_p\cdot \sqrt{3}\mid \cdot 3$  

$192=P_p\cdot \sqrt{3}\mid :\sqrt{3}$    

$P_p=\frac{192}{\sqrt{3}}\left[j^2\right]$  

Usuwamy niewymierność z mianownika:

$P_p=\frac{192}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{{\sout{192}}^{64}\cdot \sqrt{3}}{{\sout{3}}^1}=64\sqrt{3}\left[j^2\right]$     

 

Ostrosłup jest ostrosłupem prawidłowym trójkątnym, więc w jego podstawie znajduje się trójkąt równoboczny.

Korzystając ze wzoru na pole trójkąta równobocznego wyznaczamy długość krawędzi podstawy ostrosłupa:

$P_p=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$   

$64\sqrt{3}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\mid \cdot 4$  

  $256\sqrt{3}=a^2\sqrt{3}\mid :\sqrt{3}$  

$a^2=256$  

$a=\sqrt{256}=16$    

 

Odcinek b stanowi ²/₃ wysokości podstawy (spodek wysokości jest równocześnie środkiem okręgu opisanego na podstawie),

stąd korzystając ze wzoru na wysokość w trójkącie równobocznym otrzymujemy:

$b=\frac{{\sout{2}}^1}{3}\cdot \frac{16\sqrt{3}}{{\sout{2}}^1}=\frac{16\sqrt{3}}{3}$    

Ostrosłup jest ostrosłupem prawidłowym, więc krawędzie boczne mają równą długość - na rysunku oznaczone jako c.

Krawędź boczna (c), odcinek b oraz wysokość ostrosłupa tworzą trójkąt prostokątny. Korzystając z tw. Pitagorasa obliczamy długość krawędzi bocznej c:

$c^2={\left(4\sqrt{3}\right)}^2+b^2$   

$c^2=48+{\left(\frac{16\sqrt{3}}{3}\right)}^2$   

$c^2=48+\frac{768}{9}=\frac{432}{9}+\frac{768}{9}=\frac{1200}{9}$   

$c=\sqrt{\frac{1200}{9}}=\frac{\sqrt{1200}}{\sqrt{9}}=\frac{20\sqrt{3}}{3}$    

 

Odp: Krawędzie podstawy mają długość 16, a długość krawędzi bocznych wynosi ^20√3/₃.