$f\left(x\right)=\sqrt{x^2+\left(m-3\right)x+m^2-2m+2}$  

---

Wyrażenie pod pierwiastkiem musi być nieujemne, więc dziedziną funkcji f jest zbiór argumentów x spełniających nierówność:

$x^2+\left(m-3\right)x+m^2-2m+2\ge 0$  

---

Nierówność jest spełniona przez wszystkie liczby rzeczywiste, gdy parabola x²+(m-3)x+m²-2m+2 znajduje się nad osią x lub ma jeden punkt wspólny z osią x dla każdego x ∈ R. Jest tak, gdy współczynnik przy x² jest dodatni (warunek spełniony) oraz, gdy wyróżnik Δ jest niedodatni.

---

$\Delta \le 0$  

${\left(m-3\right)}^2-4\left(m^2-2m+2\right)\le 0$  

$m^2-6m+9-4m^2+8m-8\le 0$  

$-3m^2+2m+1\le 0\mid \cdot \left(-1\right)$  

$3m^2-2m-1\ge 0$  

${\Delta }_m=4+12=16,\sqrt{{\Delta }_m}=4$  

$m=\frac{2-4}{6}=-\frac{1}{3}\vee m=\frac{2+4}{6}=1$  

$m\in (-\infty ,-\frac{1}{3}⟩\cup ⟨1,+\infty )$  

---

$\text{Odp.}m\in (-\infty ,-\frac{1}{3}⟩\cup ⟨1,+\infty )$