Dla jakich wartości parametru m dane równanie...- Zadanie 9.16: Prosto do matury 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

Rozwiązanie

$a) x^{2} + (m - 5) x + m^{2} + m + \frac{1}{4} = 0$

$Δ = (m - 5)^{2} - 4 (m^{2} + m + \frac{1}{4}) = m^{2} - 10 m + 25 - 4 m^{2} - 4 m - 1 = - 3 m^{2} - 14 m + 24$

Równanie ma dwa różne pierwiastki, gdy Δ>0: (pierwiastki mają różne znaki, więc muszą być różne)

$(1) Δ > 0$

$- 3 m^{2} - 14 m + 24 > 0 ∣ \cdot (- 1)$

$3 m^{2} + 14 m - 24 < 0$

$Δ_{m} = 196 + 4 \cdot 3 \cdot 24 = 196 + 288 = 484, Δ_{m} = 22$

$m = \frac{- 14 - 22}{6} = - 6 \lor m = \frac{- 14 + 22}{6} = \frac{4}{3}$

$m \in (- 6, \frac{4}{3})$

$m \in (- 6, 1 \frac{1}{3})$

Pierwiastki mają różne znaki, gdy ich iloczyn jest ujemny. Korzystając ze wzorów Viete'a, otrzymujemy:

$(2) x_{1} x_{2} < 0$

$m^{2} + m + \frac{1}{4} < 0$

$(m + \frac{1}{2})^{2} < 0$

Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest zawsze nieujemny, więc nierówność jest sprzeczna.

$m \in \emptyset$

Znalezione m musi spełniać jednocześnie warunki (1) i (2), więc bierzemy część wspólną znalezionych rozwiązań:

$m \in (- 6, 1 \frac{1}{3}) \land m \in \emptyset$

$m \in \emptyset$

Odp. Nie istnieje takie m, dla którego równanie ma dwa pierwiastki różnych znaków.

$b) x^{2} + (2 m - 1) x + m^{2} - 3 m + 2 = 0$

$Δ = (2 m - 1)^{2} - 4 (m^{2} - 3 m + 2) = 4 m^{2} - 4 m + 1 - 4 m^{2} + 12 m - 8 = 8 m - 7$

Równanie ma dwa różne pierwiastki, gdy Δ>0: (pierwiastki mają różne znaki, więc muszą być różne)

$(1) Δ > 0$

$8 m - 7 > 0$

$8 m > 7 ∣ : 8$

$m > \frac{7}{8}$

$m \in (\frac{7}{8}, + \infty)$

Pierwiastki mają różne znaki, gdy ich iloczyn jest ujemny. Korzystając ze wzorów Viete'a, otrzymujemy:

$(2) x_{1} x_{2} < 0$

$m^{2} - 3 m + 2 < 0$

$Δ_{m} = 9 - 4 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$

$m = \frac{3 - 1}{2} = 1 \lor m = \frac{3 + 1}{2} = 2$

$m \in (1, 2)$

Znalezione m musi spełniać jednocześnie warunki (1) i (2), więc bierzemy część wspólną znalezionych rozwiązań:

$m \in (\frac{7}{8}, + \infty) \land m \in (1, 2)$

$m \in (1, 2)$

$Odp. m \in (1, 2) .$

Dagmara Kowalczuk

Nauczycielka matematyki

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.