$\text{a)}\{\begin{array}{l}y=x^2-2x-3\\ y=-3x-5\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=x^2-2x-3\\ x^2-2x-3=-3x-5\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=x^2-2x-3\\ x^2+x+2=0\Rightarrow \Delta =-7<0\end{array}$  

Układ równań jest sprzeczny.

---

Oznaczmy:

$g\left(x\right)=x^2-2x-3$  

$h\left(x\right)=-3x-5$  

---

Przekształcamy wzór funkcji g do postaci kanonicznej:

$g\left(x\right)=x^2-2x+1-4={\left(x-1\right)}^2-4$  

Wykresem funkcji g jest parabola o wierzchołku w punkcie (1, -4). Obliczamy miejsca zerowe funkcji g:

$g\left(x\right)=0$  

$x^2-2x-3=0$  

$\Delta =4+12=16,\sqrt{\Delta }=4$  

$x=\frac{2-4}{2}=-1\vee x=\frac{2+4}{2}=6$  

---

Funkcja h to funkcja liniowa. Jej wykres przechodzi przez punkty (0, -5) oraz (-1, -2).

---

Rysujemy wykresy funkcji g i h we wspólnym układzie współrzędnych.

---

---

$\text{b)}\{\begin{array}{l}y=-2x^2-1\\ y=4x+1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-2x^2-1\\ -2x^2-1=4x+1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-2x^2-1\\ 2x^2+4x+2=0\mid :2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-2x^2-1\\ x^2+2x+1=0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-2x^2-1\\ {\left(x+1\right)}^2=0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-2x^2-1\\ x+1=0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-2x^2-1\\ x=-1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-2\cdot {\left(-1\right)}^2-1\\ x=-1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-2-1\\ x=-1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-3\\ x=-1\end{array}$  

---

Oznaczmy:

$g\left(x\right)=-2x^2-1$  

$h\left(x\right)=4x+1$  

---

Wykresem funkcji g jest parabola o wierzchołku w punkcie (0, -1). Obliczamy miejsca zerowe funkcji g:

$g\left(x\right)=0$  

$-2x^2-1=0$  

$2x^2=-1\mid :2$  

$x^2=-\frac{1}{2}$  

Równanie sprzeczne. Funkcja g nie ma miejsc zerowych. W takim razie wyznaczamy współrzędne innych punktów należących do wykresu funkcji g.

$g\left(1\right)=-2-1=-3$  

$g\left(-1\right)=-2-1=-3$  

$g\left(2\right)=-2\cdot 4-1=-9$  

$g\left(-2\right)=-2\cdot 4-1=-9$  

---

Funkcja h to funkcja liniowa. Jej wykres przechodzi przez punkty (0, 1) oraz (1, 5).

---

Rysujemy wykresy funkcji g i h we wspólnym układzie współrzędnych.

---

---

$\text{c)}\{\begin{array}{l}y=-\frac{1}{2}{x}^2+4x-6\\ y=x-6\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-\frac{1}{2}{x}^2+4x-6\\ -\frac{1}{2}{x}^2+4x-6=x-6\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-\frac{1}{2}{x}^2+4x-6\\ \frac{1}{2}{x}^2-3x=0\mid \cdot 2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-\frac{1}{2}{x}^2+4x-6\\ x^2-6x=0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-\frac{1}{2}{x}^2+4x-6\\ x\left(x-6\right)=0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-\frac{1}{2}{x}^2+4x-6\\ x=0\end{array}\vee \{\begin{array}{l}y=-\frac{1}{2}{x}^2+4x-6\\ x=6\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-6\\ x=0\end{array}\vee \{\begin{array}{l}y=-\frac{1}{2}\cdot 6^2+4\cdot 6-6\\ x=6\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-6\\ x=0\end{array}\vee \{\begin{array}{l}y=-\frac{1}{2}\cdot 36+24-6\\ x=6\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-6\\ x=0\end{array}\vee \{\begin{array}{l}y=-18+18\\ x=6\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-6\\ x=0\end{array}\vee \{\begin{array}{l}y=0\\ x=6\end{array}$  

---

Oznaczmy:

$g\left(x\right)=-\frac{1}{2}{x}^2+4x-6$  

$h\left(x\right)=x-6$  

---

Przekształcamy wzór funkcji g do postaci kanonicznej:

$g\left(x\right)=-\frac{1}{2}{x}^2+4x-6=-\frac{1}{2}\left(x^2-8x\right)-6=-\frac{1}{2}\left(x^2-8x+16\right)+\frac{1}{2}\cdot 16-6=-\frac{1}{2}{\left(x-4\right)}^2+2$  

Wykresem funkcji g jest parabola o wierzchołku w punkcie (4, 2). Obliczamy miejsca zerowe funkcji g:

$g\left(x\right)=0$  

$-\frac{1}{2}{x}^2+4x-6=0\mid \cdot \left(-2\right)$  

$x^2-8x+12=0$  

$\left(x-2\right)\left(x-6\right)=0$  

$x=2\vee x=6$  

---

Funkcja h to funkcja liniowa. Jej wykres przechodzi przez punkty (0, -6) oraz (2, -4).

---

Rysujemy wykresy funkcji g i h we wspólnym układzie współrzędnych.

---

---

$\text{d)}\{\begin{array}{l}y=-2x^2+8x-4\\ y=2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}2=-2x^2+8x-4\\ y=2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}0=-2x^2+8x-6\mid :\left(-2\right)\\ y=2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{x}^2-4x+3=0\Rightarrow \Delta =4\text{,}{x}_1=1\vee x_2=3\\ y=2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=1\\ y=2\end{array}\vee \{\begin{array}{l}x=3\\ y=2\end{array}$  

---

Oznaczmy:

$g\left(x\right)=-2x^2+8x-4$   

$h\left(x\right)=2$  

---

Przekształcamy wzór funkcji g do postaci kanonicznej:

$g\left(x\right)=-2x^2+8x-4=-2\left(x^2-4x\right)-4=-2\left(x^2-4x+4\right)+2\cdot 4-4=-2{\left(x-2\right)}^2+8-4=-2{\left(x-2\right)}^2+4$  

Wykresem funkcji g jest parabola o wierzchołku w punkcie (2, 4). Obliczamy miejsca zerowe funkcji g:

$g\left(x\right)=0$  

$-2x^2+8x-4=0\mid :\left(-2\right)$  

$x^2-4x+2=0$  

$\Delta =16-8=8$  

Pierwiastki będą niewymierne, więc wyznaczamy współrzędne innych punktów należących do wykresu funkcji g.

$g\left(0\right)=-4$  

$g\left(2\right)=-2\cdot 4+8\cdot 2-4=-8+16-4=4$  

$g\left(4\right)=-2\cdot 16+8\cdot 4-4=-32+32-4=-4$  

---

Rysujemy wykresy funkcji g i h we wspólnym układzie współrzędnych.