Znając współczynnik $a$  oraz miejsca zerowe funkcji kwadratowej, możemy zapisać ją w postaci iloczynowej.

Przypomnijmy, że funkcję $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$ ,  $a\ne 0$ , można zapisać w postaci iloczynowej, gdy $\Delta \ge 0$ .

• jeżeli $\Delta =0$ , to $f\left(x\right)=a{\left(x-x_0\right)}^2$  i  $b=-\frac{b}{2a}$ ,
  
  
• jeżeli $\Delta >0$ , to $f\left(x\right)=a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)$  i  $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}$ ,  $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}$ .
   

$\Delta =b^2-4ac$  

 

$a)$    $f\left(x\right)=\left(x+9\right)\left(x-2\right)=x^2-2x+9x-18=x^2+7x-18$  

---

$b)$    $f\left(x\right)=-2\left(x+\sqrt{3}\right)\left(x-\sqrt{3}\right)=-2\left(x^2-3\right)=-2x^2+6$  

Do obliczenia iloczynu $\left(x+\sqrt{3}\right)\left(x-\sqrt{3}\right)$  skorzystaliśmy ze wzoru skróconego mnożenia  $\left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^2-b^2$

---

$c)$    $f\left(x\right)=3-2\sqrt{2}{\left(x+0,2\right)}^2=3-2\sqrt{2}{\left(x+\frac{2}{10}\right)}^2=3-2\sqrt{2}\cdot \left(x^2+2\cdot x\cdot \frac{2}{10}+{\left(\frac{2}{10}\right)}^2\right)=$  

$=3-2\sqrt{2}\cdot \left(x^2+\frac{4}{10}x+\frac{4}{100}\right)=\left(3-2\sqrt{2}\right)\cdot x^2+3-2\sqrt{2}\cdot \frac{4}{10}x+\frac{4}{100}=$  

$=\left(3-2\sqrt{2}\right)x^2+\frac{\left(3-2\sqrt{2}\right)\cdot 4}{10}x+\frac{4}{100}=\left(3-2\sqrt{2}\right)x^2+\frac{\left(3-2\sqrt{2}\right)\cdot 2}{5}x+\frac{1}{25}=$  

$=\left(3-2\sqrt{2}\right)x^2+\frac{6-4\sqrt{2}}{5}x+\frac{1}{25}$  

Ułamek dziesiętny  $0,2$  zamieniliśmy na ułamek zwykły  $\frac{2}{10}$ .

Do obliczenia iloczynu ${\left(x+0,2\right)}^2$  korzystaliśmy ze wzoru skróconego mnożenia  ${\left(a+b\right)}^2=a^2+2ab+b^2$ .

---

$d)$    $f\left(x\right)=\left(x-\left(1-\sqrt{7}\right)\right)\left(x-\left(1+\sqrt{7}\right)\right)=\left(x-1+\sqrt{7}\right)\left(x-1-\sqrt{7}\right)=$  

$=\left(x-1+\sqrt{7}\right)\left(x-1-\sqrt{7}\right)=x^2-x-\sqrt{7}x-x+1+\sqrt{7}+\sqrt{7}x-\sqrt{7}-7=$  

$=x^2-2x-6$