Odległość punktu C od prostej AB jest wysokością trójkąta ABC opuszczoną na podstawę AB, więc pole trójkąta ABC możemy obliczyć następująco:

$P=\frac{1}{2}\cdot \left|AB\right|\cdot d\left(C,\text{AB}\right)$  

---

Obliczamy |AB|:

$\left|AB\right|=\sqrt{{\left(-1-3\right)}^2+{\left(3-1\right)}^2}=\sqrt{{\left(-4\right)}^2+2^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$  

---

Wyznaczamy równanie prostej AB.

Prosta AB przechodzi przez punkt A, więc:

$\text{AB:}y=a\left(x-3\right)+1$  

Do prostej AB należy również punkt B, więc:

$3=a\left(-1-3\right)+1$  

$3=-4a+1$  

$-4a=2\mid :\left(-4\right)$  

$a=-\frac{1}{2}$  

Stąd:

$\text{AB:}y=-\frac{1}{2}\left(x-3\right)+1$  

$\text{AB:}y=-\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}$  

$\text{AB}:\frac{1}{2}x+y-\frac{5}{2}=0\mid \cdot 2$  

$\text{AB}:\mathbf{x}+2\mathbf{y}-5=0$  

---

Punkt C należy do prostej y=x-3, więc ma współrzędne (x, x-3). 

---

Obliczamy odległość punktu C od prostej AB:

$d\left(C,\text{AB}\right)=\frac{\left|x+2\left(x-3\right)-5\right|}{\sqrt{1^2+2^2}}=\frac{\left|x+2x-6-5\right|}{\sqrt{1+4}}=\frac{\left|3x-11\right|}{\sqrt{5}}$  

---

Chcemy, żeby pole trójkąta ABC było równe 15, więc:

$P=\frac{1}{2}\cdot \left|AB\right|\cdot d\left(C,\text{AB}\right)$  

$15=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{5}\cdot \frac{\left|3x-11\right|}{\sqrt{5}}$  

$15=\left|3x-11\right|$  

$3x-11=15\vee 3x-11=-15$  

$3x=26\vee 3x=-4\mid :3$  

$x=\frac{26}{3}\vee x=-\frac{4}{3}$  

---

Obliczamy drugą współrzędną punktu C:

$y=x-3=\frac{26}{3}-3=\frac{26}{3}-\frac{9}{3}=\frac{17}{3}\vee y=x-3=-\frac{4}{3}-\frac{9}{3}=-\frac{13}{3}$  

---

Zatem:

$\mathbf{C}=\left(\frac{26}{3},\frac{17}{3}\right)\vee \mathbf{C}=\left(-\frac{4}{3},-\frac{13}{3}\right)$