a) Ze wzoru na sinus sumy dwóch kątów:

$\sin \left(3x\right)=\sin \left(x+2x\right)=\sin x\cos 2x+\cos x\sin 2x=\sin x\cos 2x+\cos x\cdot 2\sin x\cos x=\sin x\left(2{\cos }^{2}x-1\right)+\sin x\cdot 2{\cos }^{2}x=\sin x\left(2{\cos }^{2}x-1+2{\cos }^{2}x\right)=\sin x\left(4{\cos }^{2}x-1\right)$  

---

Wówczas, dla sinx≠0:

$f\left(x\right)=1+\frac{2\sin 2x+3\sin 3x}{\sin x}=1+\frac{2\cdot 2\sin x\cos x+3\cdot \sin x\left(4{\cos }^{2}x-1\right)}{\sin x}=1+4\cos x+3\left(4{\cos }^{2}x-1\right)=1+4\cos x+12{\cos }^{2}x-3=12{\cos }^{2}x+4\cos x-2=2\left(6{\cos }^{2}x+2\cos x-1\right)$  

---

---

b) Przy założeniu, że sinx≠0, czyli cosx≠-1 i cosx≠1, podstawiamy cosx=t, t ∈ (-1, 1). Wówczas:

$f\left(t\right)=2\left(6t^2+2t-1\right)=12t^2+4t-2=12\left(t^2+\frac{1}{3}t+\frac{1}{36}\right)-12\cdot \frac{1}{36}-2=12{\left(t+\frac{1}{6}\right)}^2-\frac{1}{3}-2=12{\left(t+\frac{1}{6}\right)}^2-\frac{7}{3}$  

---

Współczynnik przy t² jest dodatni, więc ramiona paraboli f(t) są skierowane do góry. Zatem funkcja f przyjmuje najmniejszą wartość w wierzchołku paraboli (bo należy od do przedziału (-1, 1)), a największą - na jednym z końców przedziału (-1, 1).

---

Z postaci kanonicznej funkcji f odczytujemy, że funkcja f przyjmuje najmniejszą wartość równą -7/3.

---

Obliczamy, jakie wartości funkcja f przyjmuje na końcach przedziału:

$f\left(-1\right)=12{\left(-1+\frac{1}{6}\right)}^2-2\frac{1}{3}=12\cdot \frac{25}{36}-2\frac{1}{3}=\frac{25}{3}-\frac{7}{3}=\frac{18}{3}=6$  

$f\left(1\right)=12{\left(1+\frac{1}{6}\right)}^2-2\frac{1}{3}=12\cdot \frac{49}{36}-2\frac{1}{3}=\frac{49}{3}-\frac{7}{3}=\frac{42}{3}=14$  

---

Największą wartością przyjmowaną przez funkcję f(t) w przedziale <-1, 1> jest 14, więc zbiorem wartości funkcji f w przedziale (-1, 1) jest zbiór:

$Z{W}_f=⟨-\frac{7}{3},14)$