W zadaniu pomocne będą poniższe twierdzenia:

1. Rozwiązaniami równania sinx=a, przy założeniu, że -1≤a≤1, są liczby postaci x=x₀+2kπ oraz x=π-x₀+2kπ, gdzie x₀ jest jednym z rozwiązań tego równania i k ∈ C.
2. Rozwiązaniami równania cosx=a, przy założeniu, że -1≤a≤1, są liczby postaci x=x₀+2kπ oraz x=-x₀+2kπ, gdzie x₀ jest jednym z rozwiązań tego równania i k ∈ C.
3. Rozwiązaniami równania tgx=a są liczby postaci x=x₀+kπ, gdzie x₀ jest jednym z rozwiązań tego równania i k ∈ C.

---

$\text{a)}4{\sin }^{2}x-1=0$  

$4{\sin }^{2}x=1\mid :4$  

${\sin }^{2}x=\frac{1}{4}$  

$\left(1\right)\sin x=\frac{1}{2}\vee \left(2\right)\sin x=-\frac{1}{2}$  

Rozwiązujemy równanie (1):

$\sin x=\frac{1}{2}$  

$x=\frac{\pi }{6}+2k\pi \vee x=\pi -\frac{\pi }{6}+2k\pi$  

$x=\frac{\pi }{6}+2k\pi \vee x=\frac{5}{6}\pi +2k\pi ,k\in \mathbf{C}$  

Rozwiązujemy równanie (2):

$\sin x=-\frac{1}{2}$  

$x=-\frac{\pi }{6}+2k\pi \vee x=\pi -\left(-\frac{\pi }{6}\right)+2k\pi$  

$x=-\frac{\pi }{6}+2k\pi \vee x=\frac{7}{6}\pi +2k\pi ,k\in \mathbf{C}$  

Łącząc rozwiązania (1) oraz (2), otrzymujemy:

$x=\frac{\pi }{6}+2k\pi \vee x=\frac{5}{6}\pi +2k\pi \vee x=-\frac{\pi }{6}+2k\pi \vee x=\frac{7}{6}\pi +2k\pi ,k\in \mathbf{C}$  

---

$\text{b)}2{\cos }^{2}x-1=0$  

$2{\cos }^{2}x=1\mid :2$  

${\cos }^{2}x=\frac{1}{2}$  

$\left(1\right)\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}\vee \left(2\right)\cos x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$  

Rozwiązujemy równanie (1):

$\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}$  

$x=\frac{\pi }{4}+2k\pi \vee x=-\frac{\pi }{4}+2k\pi ,k\in \mathbf{C}$  

Rozwiązujemy równanie (2):

$\cos x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$  

$x=\frac{3}{4}\pi +2k\pi \vee x=-\frac{3}{4}+2k\pi ,k\in \mathbf{C}$  

Łącząc rozwiązania (1) oraz (2), otrzymujemy:

$x=\frac{\pi }{4}+2k\pi \vee x=-\frac{\pi }{4}+2k\pi \vee x=\frac{3}{4}\pi +2k\pi \vee x=-\frac{3}{4}+2k\pi ,k\in \mathbf{C}$  

---

$\text{c)}3{\cos }^{2}x-6\cos x=0\mid :3$  

${\cos }^{2}x-2\cos x=0$  

$\cos x\left(\cos x-2\right)=0$  

$\cos x=0\vee \underset{\text{roˊwnanie sprzeczne}}{\underbrace{\cos x=2}}$  

$x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbf{C}$  

---

$\text{d)}2{\sin }^{2}x-3\sin x+1=0$  

Podstawiamy sinx=t, t ∈ <-1, 1>.

$2t^2-3t+1=0$  

$\Delta =9-8=1$  

$t=\frac{3-1}{4}=\frac{1}{2}\vee t=\frac{3+1}{4}=1$  

Wracamy z podstawieniem do zmiennej x.

$\left(1\right)\sin x=\frac{1}{2}\vee \left(2\right)\sin x=1$  

Rozwiązujemy równanie (1):

$\sin x=\frac{1}{2}$  

$x=\frac{\pi }{6}+2k\pi \vee x=\pi -\frac{\pi }{6}+2k\pi$  

$x=\frac{\pi }{6}+2k\pi \vee x=\frac{5}{6}\pi +2k\pi ,k\in \mathbf{C}$  

Rozwiązujemy równanie (2):

$\sin x=1$  

$x=\frac{\pi }{2}+2k\pi ,k\in \mathbf{C}$  

Łącząc rozwiązania (1) oraz (2), otrzymujemy:

$x=\frac{\pi }{6}+2k\pi \vee x=\frac{5}{6}\pi +2k\pi \vee x=\frac{\pi }{2}+2k\pi ,k\in \mathbf{C}$  

---

$\text{e)}4{\cos }^{2}x-4\cos x=3$  

$4{\cos }^{2}x-4\cos x-3=0$  

Podstawiamy cosx=t, t ∈ <-1, 1>.

$4t^2-4t-3=0$  

$\Delta =16+48=64,\sqrt{\Delta }=8$  

$t=\frac{4-8}{8}=-\frac{1}{2}\vee t=\frac{4+8}{8}=\frac{3}{2}\notin ⟨-1,1⟩$  

Wracamy z podstawieniem do zmiennej x.

$\cos x=-\frac{1}{2}$  

$x=\frac{2}{3}\pi +2k\pi \vee x=-\frac{2}{3}\pi +2k\pi ,k\in \mathbf{C}$  

---

$\text{f)}2{\cos }^{2}x+5\cos x=3$  

$2{\cos }^{2}x+5\cos x-3=0$  

Podstawiamy cosx=t, t ∈ <-1, 1>.

$2t^2+5t-3=0$  

$\Delta =25+24=49,\sqrt{\Delta }=7$  

$t=\frac{-5-7}{4}=-3\notin ⟨-1,1⟩\vee t=\frac{-5+7}{4}=\frac{1}{2}$  

Wracamy z podstawieniem do zmiennej x.

$\cos x=\frac{1}{2}$  

$x=\frac{\pi }{3}+2k\pi \vee x=-\frac{\pi }{3}+2k\pi ,k\in \mathbf{C}$