Korzystając z jedynki trygonometrycznej obliczamy cosinus kąta 𝛼:

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$  

${\left(\frac{2}{3}\right)}^2+{\cos }^2\alpha =1$  

$\frac{4}{9}+{\cos }^2\alpha =1$  

${\cos }^2\alpha =\frac{5}{9}$  

$\cos \alpha =\frac{\sqrt{5}}{3}>0\vee \cos \alpha =-\frac{\sqrt{5}}{3}<0-\text{odrzucamy}$  

𝛼 jest kątem ostrym, więc odrzucamy ujemną wartość cosinusa.

---

Korzystając z jedynki trygonometrycznej obliczamy cosinus kąta β:

${\sin }^2\beta +{\cos }^2\beta =1$  

${\left(\frac{1}{3}\right)}^2+{\cos }^2\beta =1$  

$\frac{1}{9}+{\cos }^2\beta =1$  

${\cos }^2\beta =\frac{8}{9}$  

$\cos \beta =\frac{2\sqrt{2}}{3}>0\vee \cos \beta =-\frac{2\sqrt{2}}{3}<0-\text{odrzucamy}$  

β jest kątem ostrym, więc odrzucamy ujemną wartość cosinusa.

---

Mamy:

$\sin \left(\alpha +\beta \right)=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta =\frac{2}{3}\cdot \frac{2\sqrt{2}}{3}+\frac{\sqrt{5}}{3}\cdot \frac{1}{3}=\frac{4\sqrt{2}}{9}+\frac{\sqrt{5}}{9}=\frac{4\sqrt{2}+\sqrt{5}}{9}$  

Zdanie A jest fałszywe.

---

$\cos \left(\alpha +\beta \right)=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta =\frac{\sqrt{5}}{3}\cdot \frac{2\sqrt{2}}{3}-\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{3}=\frac{2\sqrt{10}}{9}-\frac{2}{9}=\frac{2\sqrt{10}-2}{9}$  

Zdanie B jest fałszywe.

---

$\cos \left(\alpha -\beta \right)=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta =\frac{\sqrt{5}}{3}\cdot \frac{2\sqrt{2}}{3}+\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{3}=\frac{2\sqrt{10}}{9}+\frac{2}{9}=\frac{2\sqrt{10}+2}{9}$  

Zdanie C jest prawdziwe.