a) Dla b=0: y=ax.

Na podstawie współrzędnych punktów A i B widzimy, że prosta AB ma równanie x=2, zatem odcinek AB to część prostej x=2 określona dla y z przedziału <1, 4>.

Wyznaczamy rzędną punktu przecięcia prostej y=ax z prostą AB w zależności od parametru a:

$\{\begin{array}{l}y=ax\\ x=2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=2a\\ x=2\end{array}$  

Sprawdzamy, kiedy:

$y\in ⟨1,4⟩$  

$y\ge 1\wedge y\le 4$  

$2a\ge 1\wedge 2a\le 4\mid :2$  

$a\ge \frac{1}{2}\wedge a\le 2$  

$\mathbf{a}\in ⟨\frac{1}{2},2⟩$  

---

b) Dla b=2: y=ax+2.

Na podstawie współrzędnych punktów A i B widzimy, że prosta AB ma równanie x=1, zatem odcinek AB to część prostej x=1 określona dla y z przedziału <0, 4>.

Wyznaczamy rzędną punktu przecięcia prostej y=ax+2 z prostą AB w zależności od parametru a:

$\{\begin{array}{l}y=ax+2\\ x=1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=a+2\\ x=1\end{array}$  

Sprawdzamy, kiedy:

$y\in ⟨0,4⟩$  

$y\ge 0\wedge y\le 4$  

$a+2\ge 0\wedge a+2\le 4$  

$a\ge -2\wedge a\le 2$  

$\mathbf{a}\in ⟨-2,2⟩$  

---

c) Dla a=0: y=b.

Na podstawie współrzędnych punktów A i B widzimy, że prosta y=b przetnie odcinek AB dla y z przedziału <-1, 3>. Stąd:

$y\in ⟨-1,3⟩\iff b\in ⟨-1,3⟩$  

---

d) Dla a=-1/2: y=-1/2x+b.

Wyznaczamy równanie prostej AB:

$y=cx+d$  

Podstawiamy współrzędne punktów A i B - otrzymujemy układ równań:

$\{\begin{array}{l}-1=2c+d\\ 4=d\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-1=2c+4\\ 4=d\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-5=2c\mid :2\\ 4=d\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}c=-\frac{5}{2}\\ d=4\end{array}$  

$\text{AB}:y=-\frac{5}{2}x+4$  

Zauważmy, że odcinek AB to fragment prostej AB, określony tylko dla argumentów z przedziału <0, 2>.

Wyznaczymy odciętą punktu przecięcia prostej AB z prostą y=-1/2x+b, a następnie, w zależności od parametru b, ustalimy, kiedy prosta y=-1/2x+b przecina odcinek AB, czyli dla jakich wartości parametru b wyznaczony x należy do przedziału <0, 2>.

$\{\begin{array}{l}y=-\frac{1}{2}x+b\\ y=-\frac{5}{2}x+4\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-\frac{5}{2}x+4=-\frac{1}{2}x+b\\ y=-\frac{5}{2}x+4\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-2x=b-4\mid :\left(-2\right)\\ y=-\frac{5}{2}x+4\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=-\frac{1}{2}b+2\\ y=-\frac{5}{2}x+4\end{array}$  

Sprawdzamy, kiedy:

$x\in ⟨0,2⟩$  

$x\ge 0\wedge x\le 2$  

$-\frac{1}{2}b+2\ge 0\wedge -\frac{1}{2}b+2\le 2$  

$-\frac{1}{2}b\ge -2\wedge -\frac{1}{2}b\le 0\mid \cdot \left(-2\right)$  

$b\le 4\wedge b\ge 0$  

$\mathbf{b}\in ⟨0,4⟩$