Zapisz wyrażenie za pomocą jednego ...- Zadanie 5.9: Prosto do matury 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

Rozwiązanie

$lo g_{a} c = b$ wtedy i tylko wtedy, gdy $a^{b} = c$ , ( $c > 0$ , $a > 0$ , $a \neq = 1$ ).

$lo g_{a} (x \cdot y) = lo g_{a} x + lo g_{a} y$

$lo g_{a} (\frac{x}{y}) = lo g_{a} x - lo g_{a} y$

$a)$ $2 lo g x + 5 lo g y - lo g 8 = lo g x^{2} + lo g y^{5} - lo g 8 = lo g (x^{2} \cdot y^{5}) - lo g 8 = lo g (\frac{x ^{2} y ^{5}}{8})$

Założenia:

$x > 0$ i $y > 0$ .

$b)$ $2 lo g_{3} (x + 1) - lo g_{3} y - lo g_{2} 8 = lo g_{3} (x + 1)^{2} - lo g_{3} y - lo g_{2} 2^{3} =$

$= lo g_{3} (\frac{( x + 1 ) ^{2}}{y}) - 3 = lo g_{3} (\frac{( x + 1 ) ^{2}}{y}) - lo g_{3} 3^{3} =$

$= lo g_{3} (\frac{( x + 1 ) ^{2}}{y}) - lo g_{3} 27 = lo g_{3} \frac{\frac{( x + 1 ) ^{2}}{y}}{27} =$

$= lo g_{3} (\frac{( x + 1 ) ^{2}}{y} \cdot \frac{1}{27}) = lo g_{3} (\frac{( x + 1 ) ^{2}}{27 y})$

Założenia:

$x + 1 > 0 \Rightarrow x > - 1$

$y > 0$ .

$c)$ $\frac{1}{2} + lo g x - lo g 8 = \frac{1}{2} + lo g_{10} x - lo g_{10} 8 = lo g_{10} 10^{\frac{1}{2}} + lo g_{10} x - lo g_{10} 8 =$

$= lo g_{10} 10 + lo g_{10} x - lo g_{10} 8 = lo g_{10} (10 \cdot x) - lo g_{10} 8 =$

$= lo g_{10} (\frac{10 x}{8}) = lo g_{10} (\frac{x 10}{8})$

Założenia:

$x > 0$ .

$d)$ $\frac{2}{5} - lo g_{2} (x - 2) + lo g_{2} 58 = lo g_{2} 2^{\frac{5}{2}} - lo g_{2} (x - 2) + lo g_{2} 8^{\frac{1}{5}} =$

$= lo g_{2} (\frac{2 ^{\frac{5}{2}}}{x - 2}) + lo g_{2} (2^{3})^{\frac{1}{5}} = lo g_{2} (\frac{2 ^{\frac{5}{2}}}{x - 2}) + lo g_{2} 2^{\frac{3}{5}} =$

$= lo g_{2} (\frac{2 ^{\frac{5}{2}}}{x - 2} \cdot 2^{\frac{3}{5}}) = lo g_{2} (\frac{2 ^{\frac{5}{2}} \cdot 2 ^{\frac{3}{5}}}{x - 2}) = lo g_{2} (\frac{2}{x - 2})$

Założenia:

$x - 2 > 0 \Rightarrow x > 2$ .

$e)$ $lo g (x + y) + lo g (x - y) = lo g ((x + y) \cdot (x - y)) = lo g (x^{2} - y^{2})$

Założenia:

$x + y > 0$ i $x - y > 0$ .

$f$ $lo g (x^{3} - y^{3}) - lo g (x - y) = lo g (\frac{x ^{3} - y ^{3}}{x - y}) = lo g (\frac{( x - y ) ( x ^{2} + x y + y ^{2} )}{x - y}) = lo g (x^{2} + x y + y^{2})$

Założenia:

$x^{3} - y^{3} > 0 \land x - y > 0$

$(x - y) (x^{2} + x y + y^{2}) > 0 ∣ : (x^{2} + x y + y^{2}) > 0 \land x - y > 0$

$x - y > 0$

Agnieszka Sermak

Nauczycielka matematyki

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