${\left({\left(2-3^{\frac{1}{2}}\right)}^{-\frac{1}{2}}+{\left(2+3^{\frac{1}{2}}\right)}^{-\frac{1}{2}}\right)}^2=$  

Rozszerz wyrażenie, wiedząc, że ${\left(a+b\right)}^2=a^2+2ab+b^2$  

$={\left({\left(2-3^{\frac{1}{2}}\right)}^{-\frac{1}{2}}\right)}^2+2\cdot {\left(2-3^{\frac{1}{2}}\right)}^{-\frac{1}{2}}\cdot {\left(2+3^{\frac{1}{2}}\right)}^{-\frac{1}{2}}+{\left({\left(2+3^{\frac{1}{2}}\right)}^{-\frac{1}{2}}\right)}^2=$  

$={\left(2-3^{\frac{1}{2}}\right)}^{-\frac{1}{2}\cdot 2}+2\cdot {\left(\left(2-3^{\frac{1}{2}}\right)\cdot \left(2+3^{\frac{1}{2}}\right)\right)}^{-\frac{1}{2}}+{\left(2+3^{\frac{1}{2}}\right)}^{-\frac{1}{2}\cdot 2}=$  

$={\left(2-3^{\frac{1}{2}}\right)}^1+2\cdot {\left(\left(2-\sqrt{3}\right)\cdot \left(2+\sqrt{3}\right)\right)}^{-\frac{1}{2}}+{\left(2+3^{\frac{1}{2}}\right)}^1=$  

$=2-\cancel{3^{\frac{1}{2}}}+2\cdot \sqrt{\left(2-\sqrt{3}\right)\cdot \left(2+\sqrt{3}\right)}+2+\cancel{3^{\frac{1}{2}}}=$  

$=4+2\cdot \sqrt{\left(2-\sqrt{3}\right)\cdot \left(2+\sqrt{3}\right)}=$  

Uprość iloczyn, wiedząc, że $\left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^2-b^2$  

$=4+2\cdot \sqrt{2^2-{\left(\sqrt{3}\right)}^2}=4+2\cdot \sqrt{4-3}=4+2\cdot \sqrt{1}=4+2\cdot 1=4+2=6$  

Liczba $6$  jest liczbą naturalną - liczby naturalne są również liczbami całkowitymi.