a) Wyznaczamy dziedzinę funkcji:

$x+2\ne 0$  

$x\ne -2$  

$D=\mathbf{R}-\left\{-2\right\}$  

---

Upraszczamy wzór funkcji:

$f\left(x\right)=\frac{x^2-4}{x+2}=\frac{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}{x+2}=x-2$  

---

Obliczamy miejsca zerowe:

$f\left(x\right)=0$  

$x-2=0$  

$x=2\in D$  

---

Rysujemy wykres funkcji:

---

---

b) Wyznaczamy dziedzinę funkcji:

$x-2\ne 0$  

$x\ne 2$  

$D=\mathbf{R}-\left\{2\right\}$  

---

Zamieniamy wyrażenie z licznika na postać iloczynową:

$x^3-4x^2+x+6=x^3-4x^2+4x-3x+6=x\left(x^2-4x+4\right)-3\left(x-2\right)=x{\left(x-2\right)}^2-3\left(x-2\right)=\left(x-2\right)\left[x\left(x-2\right)-3\right]=\left(x-2\right)\left(x^2-2x-3\right)$  

---

Upraszczamy wzór funkcji:

$f\left(x\right)=\frac{x^3-4x^2+x+6}{x-2}=\frac{\left(x-2\right)\left(x^2-2x-3\right)}{x-2}=x^2-2x-3$  

---

Obliczamy miejsca zerowe:

$f\left(x\right)=0$  

$x^2-2x-3=0$  

$x=3\in D\vee x=-1\in D$  

---

Przekształcamy wzór funkcji f do postaci kanonicznej:

$f\left(x\right)=x^2-2x-3=x^2-2x+1-1-3={\left(x-1\right)}^2-4$  

---

Aby narysować wykres funkcji f, wystarczy przesunąć wykres funkcji y=x² równolegle o wektor [1, -4].

---

---

c) Wyznaczamy dziedzinę funkcji:

$x-1\ne 0$  

$x\ne 1$  

$D=\mathbf{R}-\left\{1\right\}$  

---

Upraszczamy wzór funkcji:

$f\left(x\right)=\frac{x^3-1}{x-1}=\frac{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}{x-1}=x^2+x+1$  

---

Obliczamy miejsca zerowe:

$f\left(x\right)=0$  

$x^2+x+1=0$  

$\Delta =1-4=-3<0$  

Funkcja nie ma miejsc zerowych.

---

Przekształcamy wzór funkcji f do postaci kanonicznej:

$f\left(x\right)=x^2+x+1=x^2+x+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2-{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+1={\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2-\frac{1}{4}+1={\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}$  

---

Aby narysować wykres funkcji f, wystarczy przesunąć wykres funkcji y=x² równolegle o wektor [-1/2, 3/4].

---

---

d) Wyznaczamy dziedzinę funkcji:

$x^2-9\ne 0$  

$\left(x-3\right)\left(x+3\right)\ne 0$  

$x\ne 3\wedge x\ne -3$  

$D=\mathbf{R}-\left\{-3,3\right\}$  

---

Upraszczamy wzór funkcji:

$f\left(x\right)=\frac{6x-18}{x^2-9}=\frac{6\left(x-3\right)}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}=\frac{6}{x+3}$  

---

Obliczamy miejsca zerowe:

$f\left(x\right)=0$  

$\frac{6}{x+3}=0\mid \cdot \left(x+3\right)\ne 0$  

$6=0$  

Równanie sprzeczne. Funkcja nie ma miejsc zerowych.

---

Aby narysować wykres funkcji f, wystarczy przesunąć wykres funkcji g(x)=6/x równolegle o wektor [-3, 0].

Rysujemy wykres funkcji h(x)=1/x i na jego podstawie rysujemy wykres funkcji g(x)=6/x.

Wykres funkcji g przesuwamy równolegle o wektor [-3, 0] - otrzymujemy wykres funkcji f.