Boki trójkąta ABC zawierają się w prostych...- Zadanie 3.15: Prosto do matury 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

Rozwiązanie

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:

a) Wyznaczamy współrzędne punktu przecięcia prostych AB i AC, czyli współrzędne punktu A.

${3 x - 5 y + 11 = 0 x + y + 1 = 0$

${3 x - 5 y + 11 = 0 y = - x - 1$

${3 x - 5 (- x - 1) + 11 = 0 y = - x - 1$

${3 x + 5 x + 5 + 11 = 0 y = - x - 1$

${8 x = - 16 ∣ : 8 y = - x - 1$

${x = - 2 y = - x - 1$

${x = - 2 y = - (- 2) - 1$

${x = - 2 y = 1$

$A = (- 2, 1)$

Wyznaczamy współrzędne punktu przecięcia prostych AB i BC, czyli współrzędne punktu B.

${3 x - 5 y + 11 = 0 3 x - y - 5 = 0$

Odejmujemy równania stronami.

${3 x - 5 y + 11 = 0 - 4 y + 16 = 0$

${3 x - 5 y + 11 = 0 4 y = 16 ∣ : 4$

${3 x - 5 y + 11 = 0 y = 4$

${3 x - 5 \cdot 4 + 11 = 0 y = 4$

${3 x - 20 + 11 = 0 y = 4$

${3 x - 9 = 0 y = 4$

${3 x = 9 ∣ : 3 y = 4$

${x = 3 y = 4$

$B = (3, 4)$

Wyznaczamy współrzędne punktu przecięcia prostych BC i AC, czyli współrzędne punktu C.

${3 x - y - 5 = 0 x + y + 1 = 0$

Dodajemy równania stronami.

${3 x - y - 5 = 0 4 x - 4 = 0$

${3 x - y - 5 = 0 4 x = 4 ∣ : 4$

${3 x - y - 5 = 0 x = 1$

${3 - y - 5 = 0 x = 1$

${y = - 2 x = 1$

$C = (1, - 2)$

Prosta AF jest prostopadła do prostej BC, więc:

$AF : - x - 3 y + c = 0$

Wstawiamy współrzędne punktu A i wyznaczamy stałą c:

$- (- 2) - 3 + c = 0$

$2 - 3 + c = 0$

$- 1 + c = 0$

$c = 1$

Zatem:

$AF : - x - 3 y + 1 = 0$

Prosta BE jest prostopadła do prostej AC, więc:

$BE : - x + y + d = 0$

Wstawiamy współrzędne punktu B i wyznaczamy stałą d:

$- 3 + 4 + d = 0$

$1 + d = 0$

$d = - 1$

Zatem:

$BE : - x + y - 1 = 0$

Prosta CD jest prostopadła do prostej AB, więc:

$CD : 5 x + 3 y + k = 0$

Wstawiamy współrzędne punktu C i wyznaczamy stałą k:

$5 + 3 \cdot (- 2) + k = 0$

$5 - 6 + k = 0$

$- 1 + k = 0$

$k = 1$

Zatem:

$CD : 5 x + 3 y + 1 = 0$

b) Wyznaczamy współrzędne punktu przecięcia prostych AB i AC, czyli współrzędne punktu A.

${x + 5 = 0 x - 8 y - 3 = 0$

${x = - 5 x - 8 y - 3 = 0$

${x = - 5 - 5 - 8 y - 3 = 0$

${x = - 5 - 8 y - 8 = 0$

${x = - 5 8 y = - 8 ∣ : 8$

${x = - 5 y = - 1$

$A = (- 5, - 1)$

Wyznaczamy współrzędne punktu przecięcia prostych AB i BC, czyli współrzędne punktu B.

${x + 5 = 0 x - 2 y - 3 = 0$

${x = - 5 x - 2 y - 3 = 0$

${x = - 5 - 5 - 2 y - 3 = 0$

${x = - 5 - 2 y - 8 = 0$

${x = - 5 2 y = - 8 ∣ : 2$

${x = - 5 y = - 4$

$B = (- 5, - 4)$

Wyznaczamy współrzędne punktu przecięcia prostych BC i AC, czyli współrzędne punktu C.

${x - 2 y - 3 = 0 x - 8 y - 3 = 0$

Odejmujemy równania stronami.

${x - 2 y - 3 = 0 6 y = 0 ∣ : 6$

${x - 2 y - 3 = 0 y = 0$

${x - 3 = 0 y = 0$

${x = 3 y = 0$

$C = (3, 0)$

Prosta AF jest prostopadła do prostej BC, więc:

$AF : 2 x + y + c = 0$

Wstawiamy współrzędne punktu A i wyznaczamy stałą c:

$2 \cdot (- 5) - 1 + c = 0$

$- 10 - 1 + c = 0$

$- 11 + c = 0$

$c = 11$

Zatem:

$AF : 2 x + y + 11 = 0$

Prosta BE jest prostopadła do prostej AC, więc:

$BE : 8 x + y + d = 0$

Wstawiamy współrzędne punktu B i wyznaczamy stałą d:

$8 \cdot (- 5) - 4 + d = 0$

$- 40 - 4 + d = 0$

$- 44 + d = 0$

$d = 44$

Zatem:

$BE : 8 x + y + 44 = 0$

Prosta CD jest prostopadła do prostej AB, więc:

$CD : y + k = 0$

Wstawiamy współrzędne punktu C i wyznaczamy stałą k:

$0 + k = 0$

$k = 0$

Zatem:

$CD : y = 0$

c) Wyznaczamy współrzędne punktu przecięcia prostych AB i AC, czyli współrzędne punktu A.

${2 x - y = 0 x - 2 y + 3 = 0$

${y = 2 x x - 2 y + 3 = 0$

${y = 2 x x - 2 \cdot 2 x + 3 = 0$

${y = 2 x x - 4 x + 3 = 0$

${y = 2 x - 3 x + 3 = 0$

${y = 2 x 3 x = 3 ∣ : 3$

${y = 2 x x = 1$

${y = 2 x = 1$

$A = (1, 2)$

Wyznaczamy współrzędne punktu przecięcia prostych AB i BC, czyli współrzędne punktu B.

${2 x - y = 0 x + y + 3 = 0$

${y = 2 x x + y + 3 = 0$

${y = 2 x x + 2 x + 3 = 0$

${y = 2 x 3 x + 3 = 0$

${y = 2 x 3 x = - 3 ∣ : 3$

${y = 2 x x = - 1$

${y = - 2 x = - 1$

$B = (- 1, - 2)$

Wyznaczamy współrzędne punktu przecięcia prostych BC i AC, czyli współrzędne punktu C.

${x + y + 3 = 0 x - 2 y + 3 = 0$

Odejmujemy równania stronami.

${x + y + 3 = 0 3 y = 0 ∣ : 3$

${x + y + 3 = 0 y = 0$

${x + 3 = 0 y = 0$

${x = - 3 y = 0$

$C = (- 3, 0)$

Prosta AF jest prostopadła do prostej BC, więc:

$AF : - x + y + c = 0$

Wstawiamy współrzędne punktu A i wyznaczamy stałą c:

$- 1 + 2 + c = 0$

$1 + c = 0$

$c = - 1$

Zatem:

$AF : - x + y - 1 = 0$

Prosta BE jest prostopadła do prostej AC, więc:

$BE : 2 x + y + d = 0$

Wstawiamy współrzędne punktu B i wyznaczamy stałą d:

$- 2 - 2 + d = 0$

$- 4 + d = 0$

$d = 4$

Zatem:

$BE : 2 x + y + 4 = 0$

Prosta CD jest prostopadła do prostej AB, więc:

$CD : x + 2 y + k = 0$

Wstawiamy współrzędne punktu C i wyznaczamy stałą k:

$- 3 + k = 0$

$k = 3$

Zatem:

$CD : x + 2 y + 3 = 0$

Dagmara Kowalczuk

Nauczycielka matematyki

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.