$t$  - czas pracy starej armatki (w godzinach)

$\frac{t}{2}-4$  - czas pracy nowej armatki (w godzinach)

Całą pracę obie armatki wykonają w  $6$  godzin.

 

W ciągu jednej godziny armatka stara wykona część pracy równą  $\frac{1}{t}$ .

W ciągu jednej godziny armatka nowa wykona część pracy równą  $\frac{1}{\frac{t}{2}-4}$  .

W ciągu jednej godziny obie armatki wykonają część pracy równą  $\frac{1}{t}+\frac{1}{\frac{t}{2}-4}$

$\frac{1}{t}+\frac{1}{\frac{t}{2}-4}=\frac{1}{t}+\frac{1}{\frac{t}{2}-4\cdot \frac{2}{2}}=\frac{1}{t}+\frac{1}{\frac{t}{2}-\frac{8}{2}}=\frac{1}{t}+\frac{1}{\frac{t-8}{2}}=\frac{1}{t}+1\cdot \frac{2}{t-8}=\frac{1}{t}+\frac{2}{t-8}$

zatem 

$\frac{1}{t}+\frac{2}{t-8}=\frac{1}{6}\mid \cdot t$

$1+2\cdot \frac{t}{t-8}=\frac{1}{6}\cdot t\mid \cdot t-8$

$t-8+2t=\frac{t}{6}\cdot \left(t-8\right)\mid \cdot 6$

$6\cdot \left(t-8\right)+6\cdot 2t=t\left(t-8\right)$

$6t-48+12t=t^2-8t$

$18t-48=t^2-8t\mid -18t$

$-48=t^2-26t\mid +48$

$0=t^2-26t+48$

$t^2-26t+48=0$

Rozwiązujemy równanie kwadratowe

$\Delta ={\left(-26\right)}^2-4\cdot 1\cdot 48=676-192=484$  

$t_1=\frac{-\left(-26\right)-\sqrt{484}}{2\cdot 1}=\frac{26-22}{2}=\frac{4}{2}=2$  

$t_2=\frac{-\left(-26\right)+\sqrt{484}}{2\cdot 1}=\frac{26+22}{2}=\frac{48}{2}=24$  

$t$  nie może być równe $2$ , bo podstawiając do czasy pracy nowej armatki $t=2$  otrzymamy liczbę ujemną.

 

Zatem $t=24$ , co oznacza, że stara armatka na pokrycie śniegiem trasy zjazdowej potrzebuje $24$  godziny.

Nowa armatka natomiast potrzebuje  $8$  godzin: 

$\frac{t}{2}-4=\frac{24}{2}-4=12-4=8$