a) Oznaczmy:

$W\left(x\right)=x^3-2x^2-19x+20$  

---

Zaczniemy od wyznaczenia pierwiastków wielomianu W(x). 

Wiemy, że jeżeli wielomian o współczynnikach całkowitych ma pierwiastek całkowity, to jest on dzielnikiem wyrazu wolnego.

---

Dzielnikami wyrazu wolnego wielomianu W(x) są liczby: -20, -10, -5, -4, -2, -1, 1, 2, 4, 5, 10, 20. Sprawdzamy, czy któraś z tych liczb jest pierwiastkiem wielomianu W(x).

$W\left(1\right)=1-2-19+20=0$  

---

Liczba 1 jest pierwiastkiem wielomianu W(x), więc wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian (x-1).

Wykonujemy dzielenie W(x):(x-1), stosując schemat Hornera.

	1	-2	-19	20
1	1	-1	-20	0

---

W wyniku dzielenia wielomianu W(x) przez dwumian (x-1) otrzymaliśmy iloraz P(x)=x²-x-20.

Korzystając ze wzorów Viete'a, wielomian P(x) możemy zapisać w postaci:

$P\left(x\right)=\left(x-5\right)\left(x+4\right)$  

---

Zatem:

$W\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x-5\right)\left(x+4\right)$  

Pierwiastki wielomianu W(x):

$x=1\vee x=5\vee x=-4$  

---

Rysujemy przybliżony wykres wielomianu W(x). Współczynnik przy x³ jest dodatni, więc zaczynamy rysowanie wykresu od prawej strony od góry.

---

Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

$W\left(x\right)>0\iff x\in \left(-4,1\right)\cup \left(5,+\infty \right)$  

---

---

$\text{b)}{x}^3-2x^2-8x\le 0$  

$x\left(x^2-2x-8\right)\le 0$  

$x\left(x-4\right)\left(x+2\right)\le 0$  

$x=0\vee x=4\vee x=-2$  

---

Współczynnik przy x³ jest dodatni, więc zaczynamy rysowanie wykresu od prawej strony od góry.

---

Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

$x\in (-\infty ,-2⟩\cup ⟨0,4⟩$  

---

---

c) Oznaczmy:

$W\left(x\right)=x^3+4x^2-3x-18$  

---

Zaczniemy od wyznaczenia pierwiastków wielomianu W(x). 

Wiemy, że jeżeli wielomian o współczynnikach całkowitych ma pierwiastek całkowity, to jest on dzielnikiem wyrazu wolnego.

---

Dzielnikami wyrazu wolnego wielomianu W(x) są liczby: -18, -9, -6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6, 9, 18. Sprawdzamy, czy któraś z tych liczb jest pierwiastkiem wielomianu W(x).

$W\left(1\right)=1+4-3-18\ne 0$  

$W\left(2\right)=8+16-6-18=0$  

---

Liczba 2 jest pierwiastkiem wielomianu W(x), więc wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian (x-2).

Wykonujemy dzielenie W(x):(x-2), stosując schemat Hornera.

	1	4	-3	-18
2	1	6	9	0

---

W wyniku dzielenia wielomianu W(x) przez dwumian (x-2) otrzymaliśmy iloraz P(x)=x²+6x+9.

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia, wielomian P(x) możemy zapisać w postaci:

$P\left(x\right)={\left(x+3\right)}^2$  

---

Zatem:

$W\left(x\right)=\left(x-2\right){\left(x+3\right)}^2$  

Pierwiastki wielomianu W(x):

$x=2\vee x=-3$  

---

Współczynnik przy x³ jest dodatni, więc zaczynamy rysowanie wykresu od prawej strony od góry. Liczba -3 jest pierwiastkiem dwukrotnym, więc dla argumentu -3 wykres odbije się od osi x.

---

Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

$W\left(x\right)>0\iff x\in \left(2,+\infty \right)$  

---

---

d) Oznaczmy:

$W\left(x\right)=x^3-12x+16$  

---

Zaczniemy od wyznaczenia pierwiastków wielomianu W(x). 

Wiemy, że jeżeli wielomian o współczynnikach całkowitych ma pierwiastek całkowity, to jest on dzielnikiem wyrazu wolnego.

---

Dzielnikami wyrazu wolnego wielomianu W(x) są liczby: -16, -8, -4, -2, -1, 1, 2, 4, 8, 16. Sprawdzamy, czy któraś z tych liczb jest pierwiastkiem wielomianu W(x).

$W\left(1\right)=1-12+16\ne 0$  

$W\left(2\right)=8-24+16=0$  

---

Liczba 2 jest pierwiastkiem wielomianu W(x), więc wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian (x-2).

Wykonujemy dzielenie W(x):(x-2), stosując schemat Hornera.

	1	0	-12	16
2	1	2	-8	0

---

W wyniku dzielenia wielomianu W(x) przez dwumian (x-2) otrzymaliśmy iloraz P(x)=x²+2x-8.

Korzystając ze wzorów Viete'a, wielomian P(x) możemy zapisać w postaci:

$P\left(x\right)=\left(x-2\right)\left(x+4\right)$  

---

Zatem:

$W\left(x\right)={\left(x-2\right)}^2\left(x+4\right)$  

Pierwiastki wielomianu W(x):

$x=2\vee x=-4$  

---

Współczynnik przy x³ jest dodatni, więc zaczynamy rysowanie wykresu od prawej strony od góry. Liczba 2 jest pierwiastkiem dwukrotnym, więc dla argumentu 2 wykres odbije się od osi x.

---

Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

$W\left(x\right)\ge 0\iff x\in ⟨-4,+\infty )$