$\text{a)}{x}^3-4x^2+5x-2=0$  

---

Rozwiązanie powyższego równania jest równoważne wyznaczeniu pierwiastków wielomianu

$W\left(x\right)=x^3-4x^2+5x-2$

---

Jeżeli liczba całkowita p jest pierwiastkiem wielomianu W(x), którego wszystkie współczynniki są liczbami całkowitymi, to p jest dzielnikiem wyrazu wolnego tego wielomianu.

---

Dzielnikami wyrazu wolnego W(x) są liczby -2, -1, 1, 2. Sprawdzamy, czy któraś z tych liczb jest pierwiastkiem W(x):

$W\left(-2\right)={\left(-2\right)}^3-4\cdot {\left(-2\right)}^2+5\cdot \left(-2\right)-2=-8-16-10-2\ne 0$  

$W\left(1\right)=1-4+5-2=0$  

---

Liczba 1 jest pierwiastkiem wielomianu W(x), więc wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian (x-1).

Wykonujemy dzielenie W(x):(x-1), stosując algorytm Hornera:

	1	-4	5	-2
1	1	-3	2	0

---

Zatem:

$W\left(x\right):\left(x-1\right)=x^2-3x+2$  

Oznaczmy:

$P\left(x\right)=x^2-3x+2$  

---

Wyznaczamy pierwiastki wielomianu P(x):

$\Delta =9-8=1$  

$x=\frac{3-1}{2}=1\vee x=\frac{3+1}{2}=2$  

---

$\text{Odp.}x\in \left\{1,2\right\}$  

---

---

$\text{b)}{x}^3-x^2-8x+12=0$  

---

Rozwiązanie powyższego równania jest równoważne wyznaczeniu pierwiastków wielomianu

$W\left(x\right)=x^3-x^2-8x+12$

---

Jeżeli liczba całkowita p jest pierwiastkiem wielomianu W(x), którego wszystkie współczynniki są liczbami całkowitymi, to p jest dzielnikiem wyrazu wolnego tego wielomianu.

---

Dzielnikami wyrazu wolnego W(x) są liczby -12,-6, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 6, 12. Sprawdzamy, czy któraś z tych liczb jest pierwiastkiem W(x):

$W\left(1\right)=1-1-8+12\ne 0$  

$W\left(2\right)=2^3-2^2-8\cdot 2+12=8-4-16+12=0$  

---

Liczba 2 jest pierwiastkiem wielomianu W(x), więc wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian (x-2).

Wykonujemy dzielenie W(x):(x-2), stosując algorytm Hornera:

	1	-1	-8	12
2	1	1	-6	0

---

Zatem:

$W\left(x\right):\left(x-2\right)=x^2+x-6$  

Oznaczmy:

$P\left(x\right)=x^2+x-6$  

---

Wyznaczamy pierwiastki wielomianu P(x):

$\Delta =1+24=25,\sqrt{\Delta }=5$  

$x=\frac{-1-5}{2}=-3\vee x=\frac{-1+5}{2}=2$  

---

$\text{Odp.}x\in \left\{-3,2\right\}$  

---

---

$\text{c)}{x}^4+x^3-3x^2-5x-2=0$  

---

Rozwiązanie powyższego równania jest równoważne wyznaczeniu pierwiastków wielomianu

$W\left(x\right)=x^4+x^3-3x^2-5x-2$

---

Jeżeli liczba całkowita p jest pierwiastkiem wielomianu W(x), którego wszystkie współczynniki są liczbami całkowitymi, to p jest dzielnikiem wyrazu wolnego tego wielomianu.

---

Dzielnikami wyrazu wolnego W(x) są liczby -2, -1, 1, 2. Sprawdzamy, czy któraś z tych liczb jest pierwiastkiem W(x):

$W\left(1\right)=1+1-3-5-2\ne 0$   

$W\left(2\right)=2^4+2^3-3\cdot 2^2-5\cdot 2-2=16+8-12-10-2=0$  

---

Liczba 2 jest pierwiastkiem wielomianu W(x), więc wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian (x-2).

Wykonujemy dzielenie W(x):(x-2), stosując algorytm Hornera:

	1	1	-3	-5	-2
2	1	3	3	1	0

---

Zatem:

$W\left(x\right):\left(x-2\right)=x^3+3x^2+3x+1={\left(x+1\right)}^3$  

Oznaczmy:

$P\left(x\right)={\left(x+1\right)}^3$  

---

Wyznaczamy pierwiastki wielomianu P(x):

$P\left(x\right)=0$  

${\left(x+1\right)}^3=0$  

$x=-1$  

---

$\text{Odp.}x\in \left\{-1,2\right\}$  

---

---

$\text{d)}4x^3+8x^2-11x+3=0$  

---

Rozwiązanie powyższego równania jest równoważne wyznaczeniu pierwiastków wielomianu

$W\left(x\right)=4x^3+8x^2-11x+3$

---

Jeżeli liczba całkowita p jest pierwiastkiem wielomianu W(x), którego wszystkie współczynniki są liczbami całkowitymi, to p jest dzielnikiem wyrazu wolnego tego wielomianu.

---

Dzielnikami wyrazu wolnego W(x) są liczby -3, -1, 1, 3. Sprawdzamy, czy któraś z tych liczb jest pierwiastkiem W(x):

$W\left(1\right)=4+8-11+3\ne 0$  

$W\left(3\right)=4\cdot 27+8\cdot 9-11\cdot 3+3\ne 0$  

$W\left(-1\right)=-1+8+11+3\ne 0$  

$W\left(-3\right)=4\cdot \left(-27\right)+8\cdot 9-11\cdot \left(-3\right)+3=-108+72+33+3=0$  

---

Liczba -3 jest pierwiastkiem wielomianu W(x), więc wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian (x+3).

Wykonujemy dzielenie W(x):(x+3), stosując algorytm Hornera:

	4	8	-11	3
-3	4	-4	1	0

---

Zatem:

$W\left(x\right):\left(x+3\right)=4x^2-4x+1={\left(2x-1\right)}^2$  

Oznaczmy:

$P\left(x\right)={\left(2x-1\right)}^2$  

---

Wyznaczamy pierwiastki wielomianu P(x):

$P\left(x\right)=0$  

${\left(2x-1\right)}^2=0$  

$2x-1=0$  

$2x=1\mid :2$  

$x=\frac{1}{2}$  

---

$\text{Odp.}x\in \left\{-3,\frac{1}{2}\right\}$