Wykonaj działania.- Zadanie 2.10: Prosto do matury 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

Rozwiązanie

Przydadzą nam się wzory skróconego mnożenia:

$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$

$(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$

$(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$

$(a - b)^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}$

$a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$

$a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$

$a) 2 (x - 2)^{3} - (2 x - 1)^{3} = 2 (x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8) - (8 x^{3} - 12 x^{2} + 6 x - 1) = 2 x^{3} - 12 x^{2} + 24 x - 16 - 8 x^{3} + 12 x^{2} - 6 x + 1 = - 6 x^{3} + 18 x - 15$

$b) (- 3 - 2 x)^{2} + (2 x + 3)^{3} = [- 1 (2 x + 3)]^{3} + (2 x + 3)^{3} = - (2 x + 3)^{3} + (2 x + 3)^{3} = 0$

$c) 3 (x - 2)^{3} - 2 (2 x - 1)^{3} + 4 x (2 x - 1)^{2} = 3 (x - 2)^{3} - 2 (2 x - 1)^{2} [2 x - 1 - 2 x] = 3 (x - 2)^{3} - 2 (2 x - 1)^{2} \cdot (- 1) = 3 (x - 2)^{3} + 2 (2 x - 1)^{2} = 3 (x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8) + 2 (4 x^{2} - 4 x + 1) = 3 x^{3} - 18 x^{2} + 36 x - 24 + 8 x^{2} - 8 x + 2 = 3 x^{3} - 10 x^{2} + 28 x - 24$

$d) (3 x - 1)^{3} - 2 (x + 2)^{3} + x (5 x + 1)^{2} = 27 x^{3} - 27 x^{2} + 9 x - 1 - 2 (x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8) + x (25 x^{2} + 10 x + 1) = 27 x^{3} - 27 x^{2} + 9 x - 1 - 2 x^{3} - 12 x^{2} - 24 x - 16 \mp 25 x^{3} + 10 x^{2} + x = 50 x^{3} - 29 x^{2} - 14 x - 17$

$e) (x^{2} + 1)^{3} - (x^{3} + 1)^{2} = x^{6} + 3 x^{4} + 3 x^{2} + 1 - (x^{6} + 2 x^{3} + 1) = x^{6} + 3 x^{4} + 3 x^{2} + 1 - x^{6} - 2 x^{3} - 1 = 3 x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2}$

$f) [(x + 1)^{2} + (2 - x) (2 + x)]^{3} = (x^{2} + 2 x + 1 + 4 - x^{2})^{3} = (2 x + 5)^{3} = (2 x)^{3} + 3 \cdot (2 x)^{2} \cdot 5 + 3 \cdot 2 x \cdot 5^{2} + 125 = 8 x^{3} + 15 \cdot 4 x^{2} + 6 x \cdot 25 + 125 = 8 x^{3} + 60 x^{2} + 150 x + 125$

$g) (x^{2} - 2 x)^{3} - (x^{2} + 2 x)^{3} = [x^{2} - 2 x - (x^{2} + 2 x)] [(x^{2} - 2 x)^{2} + (x^{2} - 2 x) (x^{2} + 2 x) + (x^{2} + 2 x)^{2}] = (x^{2} - 2 x - x^{2} - 2 x) (x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2} + x^{4} - 4 x^{2} + x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2}) = - 4 x (3 x^{4} + 4 x^{2}) = - 12 x^{5} - 16 x^{3}$

$h) (2 x^{2} - 3 x)^{3} + (3 x - 2 x^{2})^{3} = (2 x^{2} - 3 x)^{3} + [- (2 x^{2} - 3 x)]^{3} = (2 x^{3} - 3 x)^{3} - (2 x^{2} - 3 x)^{3} = 0$

Dagmara Kowalczuk

Nauczycielka matematyki

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.