$x^2-2\left|x\right|=m$  

${\left|x\right|}^2-2\left|x\right|=m$  

${\left|x\right|}^2-2\left|x\right|-m=0\left(1\right)$  

Podstawiamy |x|=t, t≥0.

$t^2-2t-m=0\left(2\right)$  

---

Równanie (1) ma dokładnie jedno rozwiązanie, gdy równanie (2) ma jedno rozwiązanie równe 0 lub dwa różne rozwiązania, z których jedno jest ujemne, a drugie jest zerem.

Wstawmy t=0 do równania i wyznaczmy, dla jakiej wartości parametru m t=0 jest rozwiązaniem.

$-m=0$  

$m=0$  

Dla m=0:

$t^2-2t=0$  

$t\left(t-2\right)=0$  

$t=0\vee t=2$  

Otrzymaliśmy, że równanie (2) ma dwa rozwiązania, z których jedno jest dodatnie, a drugie jest równe 0. Zatem równanie (1) nie może mieć jednego rozwiązania.

Zdanie A jest fałszywe.

---

W poprzednich rozważaniach przypadkowo ustaliliśmy, że równanie (1) ma trzy rozwiązania dla m=0, bo mamy:

$t=0\vee t=2$  

$\left|x\right|=0\vee \left|x\right|=2$  

$x=0\vee x=2\vee x=-2$  

Zdanie B jest prawdziwe.

---

Równanie (1) ma cztery rozwiązania, gdy równanie (2) ma dwa różne rozwiązania dodatnie. Liczba pierwiastków równania (2) zależy od znaku wyróżnika:

$\Delta =4+4m$  

Równanie (2) ma dwa różne rozwiązania, gdy Δ>0.

$\Delta >0$  

$4+4m>0$  

$4m>-4\mid :4$  

$m>-1$  

$m\in \left(-1,+\infty \right)$  

Oba rozwiązania są dodatnie, gdy suma i iloczyn pierwiastków t₁, t₂ są dodatnie. Ze wzorów Viete'a otrzymujemy:

$t_1+t_2>0$  

$2>0$  

$m\in \mathbf{R}$  

oraz

$t_1\cdot t_2>0$  

$-m>0$  

$m<0$  

$m\in \left(-\infty ,0\right)$  

Bierzemy część wspólną wyznaczonych warunków, otrzymując:

$m\in \left(-1,+\infty \right)\wedge m\in \mathbf{R}\wedge m\in \left(-\infty ,0\right)$  

$m\in \left(-1,0\right)$  

Do przedziału (-1, 0) należy nieskończenie wiele wartości m.

Zdanie C jest prawdziwe.