Przekształcamy równanie okręgu do postaci kanonicznej:

$x^2+y^2-8x-4y+7=0$  

$\left(x^2-8x+16\right)-16+\left(y^2-4y+4\right)-4+7=0$  

${\left(x-4\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2=13$  

Wyznaczamy punkty przecięcia okręgu  ${\left(x-4\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2=13$  z prostą $y=5x-5$ .

Tworzymy i rozwiązujemy metodą podstawiania układ równań 

$\{\begin{array}{l}{\left(x-4\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2=13\\ y=5x-5\end{array}$  

Podstawiamy $y=5x-5$  do równania okręgu

${\left(x-4\right)}^2+{\left(5x-5-2\right)}^2=13)$  

$x^2-8x+16+{\left(5x-7\right)}^2=13$  

$x^2-8x+16+25x^2-70x+49=13$  

$26x^2-78x+65=13\mid -13$  

$26x^2-78x+52=0\mid :2$  

$13x^2-39x+26=0$  

$\Delta ={\left(-39\right)}^2-4\cdot 13\cdot 26=1521-1352=169$  

$x_1=\frac{-\left(-39\right)-\sqrt{169}}{2\cdot 13}=\frac{39-13}{26}=\frac{26}{26}=1$  

$x_2=\frac{-\left(-39\right)+\sqrt{169}}{2\cdot 13}=\frac{39+13}{26}=\frac{52}{26}=2$  

Równanie ma dwa pierwiastki, więc okrąg ma dwa punkty wspólne z prostą.

Wyznaczamy $y$  dla $x=1$ :

$y=5\cdot 1-5=5-5=0$  .

Wyznaczamy $y$  dla $x=2$ :

$y=5\cdot 2-5=10-5=5$ .

Układ równań ma dwa rozwiązania:

$\{\begin{array}{l}x=1\\ y=0\end{array}$    i    $\{\begin{array}{l}x=2\\ y=5\end{array}$  

Punkty $A$  i $B$  mają współrzędne $\left(1,0\right)$  i $\left(2,5\right)$ .

 

Równanie okręgu o środku w punkcie $S=\left(a,b\right)$  i promieniu $r>0$ :

${\left(x-a\right)}^2+{\left(y-b\right)}^2=r^2$ .

Środek $S$  okręgu o równaniu  ${\left(x-4\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2=13$  ma współrzędne $\left(4,2\right)$ .  

Punkt $S$  jest środkiem przekątnych $AC$  i $BD$ .

Współrzędne środka odcinka $AB$  obliczamy ze wzoru:

$\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right)$ .

Szukamy współrzędnych punktu $C=\left(x_C,y_C\right)$   

$S=\left(\frac{1+x_C}{2},\frac{0+y_C}{2}\right)$

$\left(4,2\right)=\left(\frac{1+x_C}{2},\frac{0+y_C}{2}\right)$

$\left(4,2\right)=\left(\frac{1+x_C}{2},\frac{y_C}{2}\right)$

$4=\frac{1+x_C}{2}$  i $2=\frac{y_C}{2}$ .

Wyznaczamy $x_C$ : 

$4=\frac{1+x_C}{2}\mid \cdot 2$  

$8=1+x_C\mid -1$  

$7=x_C$  

$x_C=7$ .

Wyznaczamy $y_C$ : 

$2=\frac{y_C}{2}\mid \cdot 2$  

$4=y_C$  

$y_C=4$ .

Punkt $C$  ma współrzędne $\left(7,4\right)$ .

Szukamy współrzędnych punktu $D=\left(x_D,y_D\right)$  

$S=\left(\frac{2+x_D}{2},\frac{5+y_D}{2}\right)$

$\left(4,2\right)=\left(\frac{2+x_D}{2},\frac{5+y_D}{2}\right)$

$4=\frac{2+x_D}{2}$  i $2=\frac{5+y_D}{2}$ .

Wyznaczamy $x_D$ : 

$4=\frac{2+x_D}{2}\mid \cdot 2$  

$8=2+x_D\mid -2$  

$6=x_D$  

$x_D=6$ .

Wyznaczamy $y_D$ : 

$2=\frac{5+y_D}{2}\mid \cdot 2$  

$4=5+y_D\mid -5$  

$-1=y_D$

y_D=-1.

Punkt $D$  ma współrzędne $\left(6,-1\right)$ .