Równanie okręgu o środku w punkcie $S=\left(a,b\right)$  i promieniu $r>0$ :

${\left(x-a\right)}^2+{\left(y-b\right)}^2=r^2$ .

 

Odległość między punktami $A=\left(x_A,y_A\right)$  i $B=\left(x_B,y_B\right)$  obliczamy ze wzoru

$\left|AB\right|=\sqrt{{\left(x_A-x_B\right)}^2+{\left(y_A-y_B\right)}^2}$ .

 

$a)$  Przekształcamy równanie pierwszego okręgu do postaci kanonicznej:

$x^2+y^2+2x+4y-11=0$  

$\left(x^2+2x+1\right)-1+\left(y^2+4y+4\right)-4-11=0$  

${\left(x+1\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2=16$  

 Przekształcamy równanie drugiego okręgu do postaci kanonicznej:

$x^2+y^2-6x-2y+6=0$  

$\left(x^2-6x+9\right)-9+\left(y^2-2y+1\right)-1+6=0$  

${\left(x-3\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2=4$  

Mamy więc:

${\left(x+1\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2=16$ , 

${\left(x-3\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2=4$  

 

Środkiem pierwszego okręgu jest punkt $S_1=\left(-1,-2\right)$ , promień tego okręgu to $r_1=4$ .

Środkiem drugiego okręgu jest punkt $S_2=\left(3,1\right)$ , promień tego okręgu to $r_2=2$ .

$\left|S_1{S}_2\right|=\sqrt{{\left(-1-3\right)}^2+{\left(-2-1\right)}^2}=\sqrt{{\left(-4\right)}^2+{\left(-3\right)}^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$  

$r_1+r_2=4+2=6$  

$\left|S_1{S}_2\right|=5<6=r_1+r_2$  

Okręgi przecinają się.

---

$b)$   Przekształcamy równanie pierwszego okręgu do postaci kanonicznej:

$x^2+y^2+4x+2=0$  

$\left(x^2+4x+4\right)-4+y^2+2=0$  

${\left(x+2\right)}^2+y^2=2$  

 Przekształcamy równanie drugiego okręgu do postaci kanonicznej:

$x^2+y^2-2x+6y-22=0$  

$\left(x^2-2x+1\right)-1+\left(y^2+6y+9\right)-9-22=0$  

${\left(x-1\right)}^2+{\left(y+3\right)}^2=32$  

Mamy więc:

${\left(x+2\right)}^2+y^2=2$ , 

${\left(x-1\right)}^2+{\left(y+3\right)}^2=32$  

 

Środkiem pierwszego okręgu jest punkt $S_1=\left(-2,0\right)$ , promień tego okręgu to $r_1=\sqrt{2}$ .

Środkiem drugiego okręgu jest punkt $S_2=\left(1,-3\right)$ , promień tego okręgu to

$r_2=\sqrt{32}=\sqrt{16\cdot 2}=\sqrt{16}\cdot \sqrt{2}=4\sqrt{2}$ .

$\left|S_1{S}_2\right|=\sqrt{{\left(-2-1\right)}^2+{\left(0-\left(-3\right)\right)}^2}=\sqrt{{\left(-3\right)}^2+3^2}=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}=\sqrt{9\cdot 2}=\sqrt{9}\cdot \sqrt{2}=3\cdot \sqrt{2}=3\sqrt{2}$  

$r_2-r_1=4\sqrt{2}-\sqrt{2}=3\sqrt{2}$  

$\left|S_1{S}_2\right|=3\sqrt{2}=r_2-r_1$  

Okręgi są styczne wewnętrznie.

---

$c)$    Przekształcamy równanie pierwszego okręgu do postaci kanonicznej:

$x^2+y^2+4x-30=0$  

$\left(x^2+4x+4\right)-4+y^2-30=0$  

${\left(x+2\right)}^2+y^2=34$  

 Przekształcamy równanie drugiego okręgu do postaci kanonicznej:

$x^2+y^2+4x-5=0$  

$\left(x^2+4x+4\right)-4+y^2-5=0$  

${\left(x+2\right)}^2+y^2=9$  

Mamy więc:

${\left(x+2\right)}^2+y^2=34$ , 

${\left(x+2\right)}^2+y^2=9$  

 

Środkiem pierwszego okręgu jest punkt $S_1=\left(-2,0\right)$ , promień tego okręgu to $r_1=\sqrt{34}$ .

Środkiem drugiego okręgu jest punkt $S_2=\left(-2,0\right)$ , promień tego okręgu to $r_2=3$ .

Okręgi są współśrodkowe.

---

$d)$    Przekształcamy równanie pierwszego okręgu do postaci kanonicznej:

$x^2+y^2-6x+4y+6=0$  

$\left(x^2-6x+9\right)-9+\left(y^2+4y+4\right)-4+6=0$  

${\left(x-3\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2=7$  

 Przekształcamy równanie drugiego okręgu do postaci kanonicznej:

$x^2+y^2+10x+2y+25=0$  

$\left(x^2+10x+25\right)+\left(y^2+2y+1\right)-1=0$  

${\left(x+5\right)}^2+{\left(y+1\right)}^2=1$  

Mamy więc:

${\left(x-3\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2=7$ , 

${\left(x+5\right)}^2+{\left(y+1\right)}^2=1$  

 

Środkiem pierwszego okręgu jest punkt $S_1=\left(3,-2\right)$ , promień tego okręgu to $r_1=\sqrt{7}$ .

Środkiem drugiego okręgu jest punkt $S_2=\left(-5,-1\right)$ , promień tego okręgu to $r_2=1$ .

$\left|S_1{S}_2\right|=\sqrt{{\left(3-\left(-5\right)\right)}^2+{\left(-2-\left(-1\right)\right)}^2}=\sqrt{{\left(3+5\right)}^2+{\left(-2+1\right)}^2}=\sqrt{8^2+1^2}=\sqrt{64+1}=\sqrt{69}$  

$r_1+r_2=\sqrt{7}+1=1+\sqrt{7}$  

$\left|S_1{S}_2\right|=\sqrt{69}>1+\sqrt{7}=r_1+r_2$  

Okręgi rozłączne.